Отсюда X 2 = (0,72;-0,12;0,021), Z ( X 2) = 1,11.

Заметим, что глобальный минимум достигается при X - (0,0,0) и

равен 0, т.е. после второй итерации получили значительное улучшение исходного значения. Процесс можно продолжать до тех пор, пока не получится решение с требуемой точностью.

Метод наискорейшего спуска

ВАлгоритм метода наискорейшего спуска [3, 19] содержит следующие этапы:

Этап 1. Вычисление всех частных производных Z(x) по управляемым параметрам в исходной или промежуточных точках.

Этап 2. Нахождение одним из методов одномерного поиска оптимального шага вдоль антиградиентного направления. Величина шага h определяется из условия минимума функции Z[Xk— hVZ(Xk)] по ht т. е. dZ(h)/dh.

Этап 3. Вычисление координат новой точки Хк+1 по (8.101).

Этап 4. Если условия прекращения поиска не выполняются, то происходит возврат к этапу 1.

Метод сопряженных градиентов

В методе сопряженных градиентов [20] строится последовательность направлений поиска £*, которые являются

ёПримечания:

1)Векторы So и S\ размерности п называют сопряженными по отношению к любой квадратной матрице Q того же порядка (или

Q-сопряженными), если скалярное произведение векторов So и

р _ v r z ( jfo v z (g ,)

V r Z(X o )V Z (X o )

S В общем виде алгоритм метода сопряженных градиентов

состоит из следующих этапов:

Этап 1. Вычисление в точке Ха вектора S о = - V Z ( X o )

Этап 2. Нахождение минимума Z(X) одним из методов одномерного

поиска в направлении S * (начальное значение к — 0), что сразу определяет точку Х м , значение Z ( X k+1) и VZ(X*+i).

Этап 3. Определение нового направления S *+i из соотношения

S*+i = - V Z ( X M ) + S k V r Z ( ^ , ) V Z ( Z t+l)

Метод Ньютона

Описанный выше метод наискорейшего спуска основывается на последовательной линейной аппроксимации целевой функции и ее первых производных на каждой итерации. Для того чтобы построить более общую стратегию поиска, следует привлечь

информацию о вторых производных целевой функции. Такая стратегия применяется в методе Ньютона [20], использующем кроме градиента функции и матриц ее вторых производных Н

(8.6) - матрицу Гессе.

В алгоритме метода Ньютона в качестве шага при движении по направлению антиградиента используется обратная матрица вторых производных.. При этом каждое следующее приближение в

8.4.5.Методы нелинейного программирования (задачи

сограничениями)

В большинстве случаев задачи оптимизации технических объектов сводятся к поиску экстремума нелинейной целевой функции при наличии ограничений в виде равенств и неравенств.

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:

«5 Ограничение в виде неравенства g,(A') > 0 называется активным,

или связывающим в точке X , если g((A') = 0, и неактивным, или

несвязывающим, если g;(X ) >0.

Решение этих задач можно выполнить с помощью одного из двух подходов.

В первом подходе учитывается, что большинство развитых методов оптимизации ориентировано на поиск безусловного экстремума. Поэтому их применение к решению задачи условной оптимизации требует, чтобы эта задача была предварительно сведена к задаче безусловной оптимизации.

Во втором подходе используются методы, специально разработанные для решения задач нелинейного программирования с ограничениями.

Мы рассмотрим лишь первый подход к решению этих задач, а именно методы сведения задач условной оптимизации к безусловной.

Эта операция выполняется с учетом прямых и функциональных ограничений. Устранение прямых ограничений при переходе к безусловной оптимизации осуществляется соответствующим нормированием управляемых параметров.

преобразовав ограниченный параметр н, в неограниченный х,.

Функциональные ограничения устраняются путем конструирования обобщенной функции оптимизации с учетом типа ограничений. Так, если все ограничения представлены в аналитическом виде и являются функциональными зависимостями типа равенств, то переход к задаче безусловной оптимизации часто осуществляется с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа [2,20].

Метод множителей Лагранжа

Вэтом методе новая целевая функция - функция Лагранжа

Ф( Х , А )— формируется из исходной целевой функции Z(X) и всех

функциональных ограничений типаравенств следующим образом:

Решая систему уравнений и неравенств (8.113), находим

как искомые переменные X , так и вспомогательные переменные - множители Лагранжа щ и А*.

При этом для активных ограничений-неравенств, выполняемых в точке оптимального решения в виде равенств gj=0, множители Лагранжа Uj> 0 , а для неактивных ограничений (gj>0)

выполняются условия Wjgj=0, то есть, для этих ограничений Wj=0. Если существует возможность обнаружить ограничения,

которые неактивны в точке оптимума, до непосредственного решения задачи, то эти ограничения можно исключить из модели и тем самым уменьшить ее размеры.

■ Пример 8.12. Снова обратимся к задаче проектирования контейнера, имеющего минимальную поверхность (задача 8.1), но с учетом всех ограничений:

Составим задачу Куна - Таккера (8.113):

Решая данную систему уравнений и неравенств, получаем *1=1,5; л:2=*з=0,816. Целевая функция при этих значениях Zmin=6,232.