- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Метод обладает вычислительной устойчивостью.
Существует и другой вариант разложения исходной матрицы А на произведение [12]:
|
|
|
|
А = L• D• L7 |
|
|
(2.27) |
|
где |
L |
- |
нижняя |
треугольная |
матрица |
с |
единицами |
на |
|
диагонали; |
|
|
|
|
|
||
|
D - диагональная матрица; |
|
|
|
|
|||
|
LT |
- |
верхняя |
треугольная |
матрица |
с |
единицами |
на |
диагонали.
Это разложение дало название методу - метод LDLT - факторизации.
Существенной разницы между алгоритмами этих методов нет. Правда, в методе L D L T - факторизации удается избежать операции извлечения квадратного корня, но организация процедуры в нем несколько сложнее.
2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
В этой группе методов мы познакомимся с двумя старыми и простыми методами: методом Якоби и методом Гаусса - Зейделя
[8, 12].
2.3.1. Метод Якоби (простых итераций) |
|
|
Задана система линейных алгебраических уравнений |
|
|
«11*1 Н" £7|2-^2 .... |
|
|
«21*1 |
+ Я22Л'2 + ........+ «2,,*., =Ь2, |
(2.28) |
|
|
|
«..1*1 |
+ ап2х2 + .... |
|
матричной форме
А = |
(2.28 а) |
Предполагаем, что диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию
W ^ 2 K I ’ = |
(2.29) |
>*j |
|
Преобразуем систему (2.28) к эквивалентной, выражая неизвестное x t из /-го уравнения:
хх=(Ьх - а п х2 - ........ - а ь,х„)1аи ,
хг = {Ь2 - а 2хх х- |
........- а 2пх„)/а22, |
|
(2.30) |
3 =(b„ ~ а их х - |
........ )/а,т. |
Система (2.30) называется системой, приведенной к нормальному виду. Вводя обозначения
а у = - a f/ /а,,, |
Д =Ъ, /а,,, |
|
(/ = 1,2,...л, j |
= 1,2,..л, |
(2.31) |
/ * Д |
||
систему (2.30) можно записать в матричной форме |
||
X —(3+ о.Х , |
(2.32) |
|
' 0 |
«12 |
а 21 |
0 |
где |
а = |
_а „1 «„2
=Р2 "
«2п Р2
|
, Р = |
0 |
Л . |
|
i*
*1
JC2
II
3 » .
(2.33)
Используя выражение (2.32), строим последовательность приближений {итераций), выбрав в качестве нулевого приближения, например, нулевой вектор или столбец свободных членов:
х (0) =р,
Х (|) = р + аЛГ(0\
(2.34)
Х (к) = р + а * (*-,)
Таким образом, получили последовательность приближений:
(2.34)
_ (*)
Если эта последовательность имеет предел X = lim АЛ , то
к->со
он является точным решением системы (2.28). На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.
Критерий близости двух приближений может быть
определен следующим образом: |
|
М (к) = maxU(A) “ х?~1)\ ^ е • |
(2-35) |
Если условие (2.35) выполнено, то итерационный процесс прекращается. За приближенное решение системы (2.28) с заданной точностью с принимается (£)-е приближение, т.е.
(*)
х * х
4За м е ч а н и я:
1.Начальный вектор Х^ * может быть взят произвольным, так как
сходимость процесса итерации зависит только от свойств матрицы
а, и если процесс сходится при каком-нибудь выборе исходного начального приближения, то он будет сходиться к тому же предельному вектору и при любом другом выборе этого начального приближения.
2.Сходящийся процесс итерации обладает важным свойством самопсправляемости, т.е. отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так что ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальный вектор.
■Пример 2.2. Методом Якоби решить систему линейных алгебраических уравнений:
|
8*j +*2 -4*3 = 6, |
|
|
|
||
|
2*, -6*2 +*з = -9, |
|
|
(2.36) |
||
|
-Х\ |
+ *<> + 4 * о |
= 5. |
|
|
|
Решение: Приведем эту систему к нормальному виду |
|
|||||
|
*, =0,75-0,125*2 +0,5*з, |
|
|
|||
|
*2 = 1,5 +0,333*, +0,167*з»> |
|
(2.37) |
|||
|
*3 =1,25 +0,25*, - 0,25*2- |
|
|
|||
В матричной форме систему (2.37) можно записать так: |
|
|||||
V |
'0,75' |
0 |
-0,125 |
0,5 |
*1 |
|
*2 |
= 1,5 |
+ 0,333 |
0 |
0,167 |
* *2 |
(2.38) |
_*3. |
1,25 |
0,25 |
-0,25 |
0 |
*3. |
|
За нулевые приближения корней системы примем нулевой вектор |
|
|||||
|
|
ДО)- |
х<0)=0; |
|
= 0 . |
|
|
|
= 0; |
|
|
||
Подставляя эти значения в правые части уравнения (2.37), получим первые приближения корней:
х,(,) =0,75-0,125-0 + 0,5-О = 0,75, х '0 = 1,5 + 0,333-0+0,5-0 = 1,5, х^° = 1,25 + 0,25 • 0 - 0,25 • 0 = 1,25.
Далее, подставляя эти найденные приближения в формулы (2.37), получим вторые приближения корней:
х,(2) = 0,75 - 0,125• 1,5 + 0,5• 1,25 = 1,188, х<2) = 1,5 +0,333• 0,75+0,5• 1,25 = 1,958, х<2) = 1,25+0,25 • 0,75- 0,25 • 1,5 = 1,063.
После новой подстановки будем иметь третьи приближения корней: х,(3) = 1,036; ;43) = 2,073 ; x f:>= 1,057