Если в нашем случае положить х0 = а, т.е. f(x0) 'f (хо)<0, то, проведя касательную к кривой у = f(x) в точке (a, f(a )\ мы получили бы точку JCI (рис.3.8), лежащую вне отрезка [а,Ь]. Выбранное таким образом начальное приближение оказывается непрактичным. В данном случае «хорошим» начальным приближением х0 является то, для которого выполняется условие

1(хо)/(хо)>0. (3.16)

В математическом анализе доказывается теорема, что это правило является общим.

Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ.

ёЗамечания.

1.Из формулы (3.15) видно, что чем больше значения / (х) в окрестности корня х , тем меньше поправка, которую нужно прибавить к п-му приближению, чтобы получить (и+1) - приближение. Поэтому метод касательных особенно удобно применять тогда, когда график функции y=f(x) имеет большую кривизну в окрестности корня соответствующего уравнения, т.е. круто меняет свое значение.

2.С другой стороны, если значения f(x) в окрестности корня х* малы, т.е. функция достаточно пологая, то поправки будут велики и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным.

3.Следовательно, если кривая у =f(x) вблизи точки пересечения с осью ОХ почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f(x)=0 не рекомендуется.

3.2.4. Модифицированный метод Ньютона

Если значения производной/ (х) мало изменяется на отрезке [а, Ь], то в формуле (3.15) можно положить / (xj = f (XQ).

Отсюда итерационная последовательность для корня уравнения (3.1) имеет вид:

(п=0, 1,2,.....)• (3.17)

/'( * о) ’