Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)

В строительном деле достаточно часто приходится решать проблему раскроя полуфабрикатов или минимизации отходов производства.

Постановка задачи. Из имеющихся заготовок в виде досок длиной D каждая требуется получить 6, частей длиной L, (z=l,2,...,m). Имеется несколько вариантов раскроя Vj (/=1,2,...,п) каждой доски L (план раскроя).

При каждому-м варианте раскроя получается ау частей длиной lj. (При этом axjlx + a2JI2 +... + a -lт < D . Это условие, наложенное

на коэффициенты, содержится в определении «вариант раскроя» и не является условием оптимизации).

Требуется так распилить доски, чтобы было как можно меньше отходов, или требуемое количество частей должно быть получено из минимального количества заготовок.

В качестве независимых параметров выбираем Xj - число досок (заготовок), которое намечено распилить согласно у-му варианту.

Запись математической модели задачи:

минимизировать

Задачи об оптимальном раскрое довольно разнообразны и в качестве примера рассмотрим еще один вариант такой задачи.

■Пример 8.7. При серийном производстве некоторого изделия из полос проката длиной 5000мм необходимо вырезать 3 вида заготовок.

Номер, длина и количество заготовок: №1 длина 1655мм, 1шт.

№2 длина 1050мм, 5шт. №3 длина 210мм, 1шт.

Требуется составить оптимальный план раскроя, чтобы получить комплект заготовок для 12 изделий и израсходовать при этом минимальное количество полос.

Решение

Оптимизацию будем производить, исходя из минимальных отходов полос проката при их раскрое.

1) Составим таблицу-карту раскроя:

Таким образом, получилось четыре способа раскроя полос.

2)В качестве проектных параметров возьмем: - количество прокатных полос, раскроенных /-способом.

3)Определим длину отходов при каждом способе раскроя.

4)В качестве функции цели примем суммарную длину отходов, которая должна быть минимальной:

Zn,in = 35xi + 430х2+ 195х3+ 590х4.

5) Запишем ограничения. Для 12 изделий необходимо заготовок: №1 - 12 шт.

№2 - 12 х 5 шт. №3 - 12 шт.

Ограничения записываем исходя из условий, что количество заготовок для 12 изделий должно быть не меньше соответственно 12, 60,

12:

Зх, + 2 х 2 + х 3 + 0 * х 4 >12

О х, + х2 +Зх3 + 4 х 4 >60

по количеству заготовок

х2 + х4 > 12

х,>0, / = 1,2,3,4

Задача о планировании смен на предприятии

Полученная математическая модель задачи об оптимальном раскрое материалов (8.67) - (8.69) может быть использована также при решении задач о планировании смен на предприятии.

Только в этом случае содержательный смысл параметров будет другой, а именно:

противном случае <7,7=0;

bi~ число работников, требующихся в момент времени xj - количество работников смены Vj.

При планировании строительства производственных, социальных и др. объектов всегда стоит задача правильного их размещения, то есть возникает так называемая задача о покрытии. Эта задача является частным случаем рассмотренных выше задач о раскрое и планировании (в ней b,=1; а^е {0,1} ).

Задача о покрытии местности при строительстве объектов

Постановка задачи. Для строительства гидроэлектростанций могут быть использованы пять мест К, (/-1,2,...,5). Каждая ГЭС К, могла бы обслужить (яг//=1) или не обслужить {ау=0) некоторые из четырех регионов Li (/=1,2,...,4). После сооружения минимального количества электростанций каждый из четырех регионов должен быть «покрыт» хотя бы один раз.

В качестве управляемых переменных примем xj (/=1,2,...,5), причем xj=1, если в месте Vj построена ГЭС, и х/=0 в противном случае.

Математическая модель задачи получается такая же, как и в задаче оптимального раскроя (8.67) - (8.69), но с условием, что bf=1 (/=1,2,...,4) и с дополнительным условием <а/=0 или х/=\» при 7=1,2,-..,5).

Возможны следующие варианты задачи:

1) Заданы расходы на строительство VJy равные су, и ищется наиболее дешевое «покрытие» всех местностей.

Целевая функция в этом случае Zmin = с]х] +с2х2 +... + с5х5; 2) Можно потребовать также Л-кратное покрытие. В этом

случае 6, = к.

Транспортная задача

Это еще одна типичная и очень важная задача линейного программирования.

Постановка задачи. В п пунктах отправления (склады, заводы и т.п.) АиА2у..уАп имеется (или производится) некоторый однородный продукт в количествах аиа2у..,а„. Необходимо доставить этот продукт в т пунктов назначения B{yB2y..JBmв количествах b{,b2j..ybm.

Стоимость перевозки единицы груза из пункта At в пункт Bj равна Су. Заметим, что стоимость - это условное понятие, которое может означатьрасстояние, тариф, расход топлива, время и т.д.

Количество перевозимого груза из пункта А{ в пункт Bj обозначим через Ху (/=1,2,..,л; Задача заключается в определении таких величин Ху , при которых стоимость перевозок будет минимальной.

Условия задачи можно записать компактно в виде таблицы 8.1. (двойной матрицы):

Совокупность т х п чисел Ху , т.е. матрицу X=[xv] будем называть

матрицей перевозок или планом перевозки, а матрицу С=[с,/ ] - матрицей транспортных издержек (затрат).

Сформулируем математическую модель транспортной задачи.

Транспортная задача заключается в отыскании среди допустимых планов оптимального, т.е. такого, по которому общая

стоимость перевозок минимальна, т.е

т п

План является допустимым, если числа Ху удовлетворяют

в которых первые т равенств означают, что из каждого пункта производства Aj вывозится весь произведенный продукт. Последние (и) равенства означают, что каждый пункт потребления полностью удовлетворяется.