(6.83)

6.5.3. Метод Ритца

Метод Ритца служит для приближенного решения вариационной задачи, т.е. задачи отыскания экстремума некоторого функционала, которой мы всегда можем заменить краевую задачу.

А'о

Идея метода Ритца заключается в том, что искомую функцию у(х) доставляющую экстремум функционалу,

представляют в виде линейной комбинации функций щ(х):

п

Число п зависит от требуемой точности.

Здесь срi(x) - координатные функции, выбираемые вполне определенным образом, а именно: так, чтобы функция у(х) удовлетворяла граничным условиям задачи (или хотя бы части из них). Точность решения в большой степени зависит от удачного подбора этих функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа. Подбор этих функций требует определенного навыка. Для линейных задач чаще всего применяют полиномы или

тригонометрические функции.

а{ - неизвестные параметры, которые находятся из решения задачи.

Подставляем решение (6.85) в функционал (6.84). После интегрирования и подстановки пределов он становится функцией, зависящей от параметров aL:

Необходимым условием того, чтобы эта функция принимала экстремальное значение относительно параметров ait является система соотношений

Эти соотношения представляют собой систему п линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров а, Решая эту систему, находят значения ah после чего решение вариационной задачи, а следовательно, и краевой дается формулой (6.85).

Рассмотрим применение метода Ритца на примере изгиба стержня постоянного сечения под действием равномерной нагрузки q (рис.6.18).

■Пример 6.13. Запишем выражение полной потенциальной

(6.89) Координатные функции %(х) в рассматриваемом примере должны удовлетворять всем или части граничных условий, например, ^до) = 0 и

^/(0) = 0(прогиб и угол поворота в жесткой заделке равны 0). Можно принять:

Дифференцируя П по aj и а2получаем систему уравнений

Расчетная схема для h=0,1 строится аналогично. Полученное приближенное решение имеет вид

Сравнение полученных приближенных решений приведено на рис.6.23 и разница между ними не превосходит 5%.

Метод FyHre-Кутта ( h=0.2)

Рис.6.23.Сравнение результатов расчета

Таким образом, в качестве решения исходной задачи Коши принимаем сеточную функцию таблицы 6.2.

6.6.2. Решение краевой задачи методом конечных разностей

Методом конечных разностей найти решение краевой задачи (6.62) (пример 6.11) на отрезке хе[1, 2] с шагом //=0,25 и с шагом А=0,125. Сравнить полученные результаты и сделать вывод о необходимости поиска следующего приближения или о прекращении счета.