Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА

УДК 519.6:502 К31

Р е ц е н з е н т ы :

доктор физико-математических наук, профессор Пермского государственного университета

И.Н. Шардаков

доктор технических наук, профессор Пермского государст­ венного технического университета

Н.М. Труфанова

Кашеварова, Г.Г.

К31 Численные методы решения задач строительства на ЭВМ: учебное пособие / Г.Г Кашеварова., Т.Б. Пермякова; 2-е изд. перераб. и доп. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. 352 с.

ISBN 978-5-88151-816-5

Изложены основные численные методы, применяемые в практических расчетах строительных объектов (конструкций) и в процессах управления и организации строительным производством (фирмой). Большинство численных методов, представляющих интерес для специалиста-строителя, лег ко реализу­ ется в табличном процессоре Excel. По этим причинам именно это программ­ ное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Пособие предназначено для студентов строительных специально­ стей; может быть использовано студентами других факультетов, а так же инженерами, аспирантами и научными сотрудниками.

УДК 519.6:502

Издано а рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных ком­ петенций кадров и центра инновационного развития региона на базе много­ профильного технического университета»

Предисловие

В основе учебного пособия лежит курс лекций «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ», читаемый в течение нескольких лет студентам специальности «Промышленное и гражданское строительство» и других строительных специальностей в Пермском государственном техническом университете и переработанный, в связи с широким внедрением ЭВМ в практику расчетов строительных объектов (конструкций) и в процессы управления и организации строительным производством (фирмой).

Внедрение информационных технологий во все сферы деятельности человека, в том числе и в строительную отрасль, резко расширило рамки строительной механики. Появление и развитие метода конечных элементов (МКЭ), позволило рассчитывать стержневые и нестержневые системы (пластинчатые, оболочечные, массивные, комбинированные) на действие самых разнообразных нагрузок (статических, динамических, тепловых и др.) рассматривая их с единых позиций. Современные универсальные конечно-элементные программные комплексы позволяют выполнять расчеты не только задач строительной механики, но и других физических явлений, таких как теплопередача, течение жидкостей и газов и др. От расчетчика - пользователя программными комплексами - не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются задачи и что представляют собой численные методы их решения. Без этого трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов.

Вряд ли какая-либо серьезная экономическая или управленческая задача может быть решена без расчета. Для успешного решения практических задач совершенствования управления и организации строительства с точки зрения адаптации их к возможностям, открываемым таким инструментом,

как компьютер, требуется внедрение новых принципов управления на основе математического моделирования и количественных оценок параметров объектов управления.

Для реализации численных методов на ЭВМ существует множество разнообразных программ и программных комплексов (Eureka, Mercury - для MS DOS; MathCAD, MATLAB, Maple и др. - для Windows). Может показаться, что это богатство программного обеспечения избавляет специаписта-прикладника от знания математики. Однако, чтобы воспользоваться этим богатством, надо

...знать математику. Кроме того, каждая программа имеет свою специфику и особенности и, естественно, требует навыков работы и наличия данного программного средства на компьютере.

Табличный процессор Microsoft Excel, изучаемый студентами в курсе информатики, является весьма доступным, постоянно совершенствующимся программным средством, обеспечивающим пользователю возможность самостоятельно решать различные задачи, не прибегая к услугам программиста. Для этого только нужно уметь сформулировать интересующую проблему, как математическую задачу и выбрать соответствующий численный метод для ее решения. Большинство численных методов, представляющих интерес для специалиста-строителя, легко реализуется в табличном процессоре Excel. По этим причинам именно данное программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Реализация численных методов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего оперировать с матрицами, то есть процесс расчета представлять в матричном виде. Это упрощает программирование решаемых задач, позволяет компактно и в общем виде излагать методы расчета, оказывается очень полезным при оценке результатов расчетов и используемого математического обеспечения. Поэтому в первой главе излагаются

основные понятия матричного исчисления, рассматриваются типы матриц и практические примеры, встречающиеся в расчетах строительных объектов.

Во второй главе рассматриваются численные методы решения задач линейной алгебры, к которым традиционно относятся:

•решение систем линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ) и связанные с ними задачи: 1) вычисление

определителя и 2) нахождение обратной матрицы,

•задача на собственные значения.

Алгебраические уравнения либо непосредственно составляют ту задачу, которую надо решать, либо задача сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Системы линейных алгебраических уравнений получаются в задачах проектирования строительных объектов: при статическом и динамическом расчете стержневых систем, при проектировании водопроводных и др. сетей, а также в расчетах сложных строительных конструкций, состоящих из пластин, оболочек и массивных тел. Да и вообще, применение численных методов сводит практически все задачи к алгебраическим задачам. Поэтому они являются основой для изучения почти всех разделов данного курса. В задачах динамики и устойчивости возникают

проблемы собственных значений.

Кроме того, задачи расчета устойчивости сооружений, а также задачи инженерной экологии и др. приводят к нелинейным (трансцендентным) уравнениям. Поэтому третья глава посвящена

численным методам решения нелинейныхуравнений.

Инженерные расчеты часто связаны с использованием эмпирической информации, т.е. сведениями, полученными из наблюдения и эксперимента. Обычно эта информация представлена в виде таблиц (СНиПы) и требуется, имея значения какой-то величины в отдельных точках, найти ее значения в других точках. В некоторых случаях функция f(x) содержит громоздкие, трудновычислимые выражения или имеет графическое представление, и ее можно заменить другой функцией (р(х), более удобной для вычислений. Такую замену называют аппроксимацией или попросту - приближением функции f(x) функцией ц(х), а в зависимости от используемой теории

приближения - интерполированием или среднеквадратичным приближением. Данные вопросы рассматриваются в четвертой главе.

При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла. Численные методы вычисления интеграла и практические примеры приведены в пятой главе.

Множество задач расчета строительных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приводят к

дифференциальным уравнениям - обыкновенным или в частных производных с разного рода дополнительными условиями: 1) задачам Коши или 2) краевым задачам. В шестой главе мы познакомимся с численными методами решения этих классов задач.

Метод конечных элементов решения краевых задач, некоторые аспекты практической реализации этого метода, использования готовых программных комплексов рассматриваются в седьмой главе.

Задачи оптимального проектирования, рационального распределения ограниченных ресурсов составляют важную проблему строительной отрасли. В восьмой главе рассматриваются схемы различных прикладных задач и принципы построения их математических моделей, а также некоторые методы математического (линейного и нелинейного) программирования.

При изучении данного курса предполагается, что читатель знаком с классическим курсом высшей математики в объеме, соответствующем программе вуза, основами сопротивления материалов и классической строительной механики, а также владеет навыками работы на персональном компьютере в объеме вузовского курса информатики.

Авторы выражают искреннюю благодарность доценту кафедры строительной механики и вычислительной техники Пермского государственного технического университета С Г Кузнецовой за помощь в подготовке практических задач по строительной механике.