Используя в качестве описанных углов αi углы Эйлера, получим важ-

ную формулу:

ω =ωψ +ωθ +ωϕ =ψ k +θ n +ϕ k1 .

Скорость точки тела, участвующего в сферическом движении

Найдем скорость точки тела, участвующего в сферическом движении. Эта формула носит имя Эйлера.

Вычислим предел отношения малого перемещения точки к малому промежутку времени, в течение которого он происходил при t → 0 :

v =ω ×r

где ω угловая скорость тела относительно мгновенной оси вращения. Используя формулы аналитической геометрии, векторное произведе-

ние представим в виде

Раскрыв определитель, получим формулы Эйлера в неподвижной системе координат

vx =ωy z −ωz y , vy = −ωx z +ωz x , vz =ωx y −ωy x .

Аналогично можно получить формулы Эйлера в подвижной системе координат, для чего нужно формально произвести в предыдущих соотношениях замену vx на vx1 , x на x1 , и т. д.

20

Мгновенная ось вращения

Мгновенная ось вращения — геометрическое место точек, скорость которых в данный момент времени равна нулю. Мгновенная ось вращения

— ось бесконечно малого поворота тела, определяется из уравнения

(рис.1.7):

vM =ω ×rм = 0 ,

где М — произвольная точка, лежащая на оси вращения.

Уравнения мгновенной оси в неподвижной системе координат можно

z Ω

hε r

y

x

Рис. 1. 7. Скорость и ускорение точки при сферическом движении твердого тела

Перемещаясь в пространстве и внутри тела, Мгновенная ось опишет собой конические поверхности, которые называются соответственно неподвижным и подвижным аксоидами. Для получения уравнений этих поверхностей необходимо из уравнений мгновенной оси вращения исключить время.

Подвижный аксоид катится без проскальзывания по неподвижному. Данный вывод следует из равенства нулю скоростей точек мгновенной оси

21