Эти три вектора образуют естественный репер, вдоль них идут естественные оси. Координатные плоскости образуют сопровождающий трёхгранник и носят названия: плоскость (τ , n ) — соприкасающаяся, плос-
кость ( n ,b ) — нормальная, плоскость ( b ,τ ) — спрямляющая.
Скорость точки
Рассмотрим понятие скорости точки при различных способах задания движения.
Скорость точки при векторном задании движения.
Скорость — одна из кинематических характеристик движения точки. Это векторная величина, отражающая быстроту изменения положения точки в пространстве. Пусть в момент времени t точка занимала положение М и её радиус-вектор естьr . По истечении промежутка времени t
точка занимает новое |
|
положениеM1 , |
определяемое радиус векторомr1 . |
||||
Изменение радиус-вектора за время |
t |
равно r = r1 − r (рис. 1.3). |
|||||
|
|
|
|
|
M |
τ |
v |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
s |
|
z |
|
|
r |
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
vCP |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
v1 |
k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
O |
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
j |
|
|
|
x |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 1. 3. Скорость точки |
||||
Изменение радиуса-вектора за единицу времени численно равно так |
|||||||
называемой средней скорости vCP = |
r |
t . Для характеристики быстроты |
|||||
движения в данный момент времени вводим понятие мгновенной скорости как предел, к которому стремится средняя скорость при t → 0
v = lim v |
= lim |
r |
= |
d r |
. |
t |
|
||||
t→0 CP |
t→0 |
|
d t |
||
9
Таким образом, при векторном задании движения скорость определяется как производная от радиус вектора по времени.
Скорость точки при координатном задании движения.
Координаты точки М одновременно являются и координатами её ра- диус-вектора. Поэтому координатное задание движения точки эквивалентно заданию движения её векторным способом. Разложим вектор скорости точки и её радиус-вектор в направлении координатных осей:
r = x i + y j + z k , v = vx i + vy j + vz k .
Согласно определению, данному выше, вектор скорости равен производной от радиус-вектора движущейся точки по времени
r = x i + y j + z k .
Сравнивая эту формулу с предыдущими соотношениями, убеждаемся, что проекция скорости на какую-либо ось равна производной от соответствующей координаты по времени
vx |
= x ≡ |
d x |
, |
vy |
= y ≡ |
d y |
, |
vz |
= z ≡ |
d z |
|
d t |
d t |
d t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу ортогональности составляющих вектора скорости, легко определить её модуль и направляющие косинусы
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
n |
vx |
n |
vy |
n |
vz |
|
v = |
x |
|
+ y |
|
+ z |
|
, |
cos(v , i )= |
|
, cos(v , j )= |
|
, cos(v ,k )= |
|
. |
|
|
|
v |
v |
v |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость точки при естественном задании движения.
При использовании естественного способа задания движения точки её положение характеризуется дуговой координатойs = s (t). Положение точки в этом случае представляется радиус векторомr = r s (t) . Тогда скорость точки можно определить следующим образом (рис. 1.3):
v = dd rt = dd rs dd st = dd st τ = vτ τ ,
10