Количество движения

Количество движения — векторная мера механического движения, характеризующая переход механического движения одного материального объекта в механическое движение другого объекта. Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведений массы точки на ее скорость q = m v . Для механической системы геометрическая сумма количеств движения ее точек называется главным вектором количества движения

Q = ∑qk = ∑mk vk = ∑mk rk . k k k

Главный вектор количества движения механической системы является свободным вектором, не имеющим определённой точки приложения. Вели-

чину и направление главного вектора количества движения механической

системы можно определить через скорость центра масс vC по формуле

Q = m vC .

При сложном движении тела векторQ , характеризует только посту-

пательное движение тела вместе с центром масс и не может характеризовать вращательное движение вокруг центра масс.

Кинетический момент

Вращательное движение системы вокруг ее центра масс характеризует другая мера механического движения — кинетический момент.

Кинетическим моментом системы относительно неподвижного цен-

тра O называется геометрическая сумма моментов количества движения

всех точек этой системы, взятых относительно того же центра

KO = ∑rk ×mk vk . k

Если материальная система совершает произвольное движение в пространстве, то такое движение можно представить в виде суммы посту-

90

пательного движения вместе с центром масс и относительного движения вокруг центра масс (рис. 3. 3). Кинетический момент механической системы в этом случае можно представить в виде

KO = ∑rk ×mk vk = rC ×m vC + KCr . k

Вектор KCr = ∑ρk ×mk vkr называется кинетическим моментом систе-

k

мы в относительном по отношению к центру масс движении.

Рис. 3. 3. Разложение сложного движения на переносное и относительное.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (напримерOz ),

кинетический момент тела будет равен произведению угловой скорости на момент инерции тела, вычисленный относительно той же оси

KO z = IO zω,

где IO z — момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

Знак кинетического момента совпадает со знаком угловой скорости.

Кинетическая энергия

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических

энергии всех точек системы

Это основная скалярная мера механического движения.

91

Кинетическая энергия механической системы в общем случае произвольного движения (рис. 3. 3) равна сумме кинетической энергии в поступательном движении системы со скоростью центра масс и кинетической

энергии этой системы в относительном движении, наблюдаемом из под-

вижной системы отсчёта (поступательно движущейся вместе с центром масс) — теорема Кенига

• если тело движется поступательно, то скорости всех его точек одина-

• при вращательном движении твёрдого тела вокруг неподвижной

Здесь IOz — момент инерции твёрдого тела относительно оси Oz

• если тело участвует в плоскопараллельном движении, то его кинетиче-

скую энергию можно определить по теореме Кёнига

где ω — угловая скорость при вращении тела вокруг центра масс.

Элементарный и полный импульс силы

Действие силы F на материальную точку в течение промежутка вре-

мени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом силы d S = F dt .

Полный импульс силы F за промежуток времени t −t0 равен

92

t

S = ∫F dt .

t0

Работа силы

Элементарной работой силы F называется скалярная величина, рав-

ная скалярному произведению вектора силы F на элементарное переме-

щение точки приложения силы

δ A = F d r δ A = F cos(ϕ)d r = Fτ d r ,

где ϕ — угол между векторами F иd r , Fτ — проекция вектора силы на направление единичного вектора касательной к траектории.

Производя скалярное умножение, получим ещё одно представление

для величины элементарной работы

δ A = Fx d x + Fy d y + Fz d z .

По внешнему виду эта формула напоминает полный дифференциал функции координат точки, но, тем не менее, в общем случае элементарная

работа не является полным дифференциалом.

Элементарная работа силы, действующей на механическую систему, на возможном перемещении

δ A = Fk δ rk .

Полную работу силы на конечном перемещении можно найти по

формуле

93