ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Колебания системы считаются малыми, если отклонения и скорости можно рассматривать как величины первого порядка малости по сравнению с характерными размерами и скоростями точек системы.

Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Равновесие системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 3. 8).

Рис. 3. 8 Различные виды равновесия

Равновесное положение системы является устойчивым, если система, равновесие которой нарушено весьма малым начальным отклонением q0i и

(или) малой начальной скоростьюq0i , совершает движение около этого по-

ложения.

Критерий устойчивости положения равновесия консервативных систем с голономными и стационарными связями устанавливается по виду зависимости потенциальной энергии системы от обобщённых координат. Для консервативной системы c N степенями свободы, уравнения равновесия имеют вид

Сами уравнения равновесия не дают возможности оценить характер устойчивости или неустойчивости положения равновесия. Из них лишь следует, что положению равновесия соответствует экстремальное значение потенциальной энергии.

113

Условие устойчивости положения равновесия (достаточное) устанавливается теоремой Лагранжа – Дирихле:

если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то это положение устойчиво.

Условием минимума любой функции является положительность второй производной от неё, при равенстве первой производной нулю. Поэтому

Если же вторая производная тоже равна нулю, то для оценки устойчивости необходимо вычислить последовательные производные

и если первая не равная нулю производная имеет чётный порядок и при этом положительна, то потенциальная энергия при qi = qпокоя имеет минимум, а следовательно, это положение равновесия системы устойчиво. Если же эта производная имеет нечётный порядок, то при qi = qпокоя нет ни максимума, ни минимума. Оценка состояния равновесия системы в положении, когда она не имеет минимума потенциальной энергии, приводится в специальных теоремах А. М. Ляпунова.

Потенциальная энергия системы

Потенциальная энергия системы с N степенями свободы в общем случае является функцией обобщённых координат

Π = Π(q1, q2 , ..., qN )= Π(q).

Рассмотрим только малые смещения системы из положения равновесия. В этом случае обобщённые координатыqi , отсчитываемые от равно-

весного положения, можно рассматривать как величины первого порядка малости.

114

В положении равновесия системы (qi = 0, i =1, N ) потенциальную энергию можно принять равной нулю Π(0)= 0 . Удерживая в разложении потенциальной энергии Π в ряд Маклорена только члены второго порядка малости, получаем

где постоянные cij имеют название коэффициентов жёсткости. Таким об-

разом, приближённое выражение для потенциальной энергии системы окончательно принимает вид квадратичной функции от обобщенных координат qi :

Π= 1 ∑∑N N cij qi qj . 2 j=1 i=1

Для систем с одной степенью свободы потенциальная энергия вычисляется, следовательно, по формуле:

Π = 12 c q2 .

Кинетическая энергия системы

Кинетическая энергия — однородная квадратичная функция обобщённых скоростей с коэффициентами, являющимися функциями обобщённых координат

115

Так как рассматриваются малые колебания системы, то ограничимся в разложении коэффициентов в ряд Маклорена только первыми постоян-

ными членами, которые обозначим так: Mij qm =0 = mij .

Кинетическая энергия системы приближённо представится в форме:

T = 1 ∑∑N N mij qi qj , 2 i=1 i=1

где mij — симметричные коэффициенты инерции.

Отсюда для системы с одной степенью свободы

T = 12 m q2 .

Диссипативная функция Рэлея

Пусть на любую точку системы, имеющую N степеней свободы, действует сила сопротивления пропорциональная первой степени скорости

Rk = −μk vk = −μk rk ,

где μk — коэффициент сопротивления.

Силе сопротивления R сопоставляется диссипативная функция Рэлея , характеризующаябыстротурассеивания(диссипации) энергиисистемы

= ∑n μk vk 2 ,

k=1 2

которую при стационарных связях rk = ∑N ∂rk qm можно представить сле-

m=1 ∂qm

дующим образом:

= 1 ∑∑N N βij (q) qi qj , 2 i j

116