Эти зависимости называются кинематическими уравнениями сферического движения.

Вектор, определяющий положение точки M в неподвижной и подвижной системах отсчета, равен

r = x i + y j + z k = x′i′+ y′ j′+ z′k′,

а координаты точки связаны при помощи матрицы преобразования

Теорема Эйлера-Даламбера о конечном повороте

Любое перемещение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно осуществить одним конечным поворотом вокруг оси, проходящей через эту точку.

Для чего нам нужна эта теорема? Чтобы ответить на следующий вопрос: можно ли бесконечно, малые углы поворотов, произведённых последовательно друг за другом, складывать по правилу параллелограмма (как векторы)?

Угловая скорость, угловое ускорение

Введём "вектор" малого поворотаα , равный по величине углу пово-

18

Произведём два последовательных поворота. После первого поворота на угол α1 , вектор r переместится в положение r1

r1 = r + p1 = r +α1 ×r .

После второго поворота на угол α2 вектор r1 переместится в положение r2

r2 = r1 +α2 ×r1 = (r +α2 ×r )+α2 ×(r +α1 ×r )

=r +(α1 +α2 )×r +α2 ×(α1 ×r )

Всилу малости α1 и α2 подчёркнутым слагаемым можно пренебречь как величиной более малого порядка, чем остальные компоненты формулы.

r2 = r +(α1 +α2 )×r .

Но по теореме Эйлера-Даламбера суммарное движение можно записать в виде формулы описывающей один поворот на угол α :

r2 = r +α ×r .

Сравнивая последние формулы между собой, получим

α1 +α2 =α .

Т. е. бесконечно малые углы поворота можно считать векторами и складывать по правилу параллелограмма.

Введём определение угловой скорости и углового ускорения:

ω = ddtα , ε = ddtω .

Угловое ускорение равно линейной скорости конца вектора угловой скорости ω.

Т. к. вектор d α может быть представлен в виде суммы двух или не-

скольких поворотов

19