Методика решения задач на равновесие пространственной системы сил
Любая задача статики изучаемого курса может быть решена по следующему плану:
•выделить тело (элемент) или систему тел, равновесие которых будем рассматривать (использование аксиомы освобождения от связей);
•расставить силы, действующие на выделенные элементы. Т. к. кроме активных сил на выделенные элементы действуют реакции отброшенных связей, то этот пункт существенно зависит от первого и, обычно, выполняется вместе с ним;
•дать анализ полученной системы сил, выяснить, является ли задача статически определённой;
•записать условия равновесия и произвести над ними действия с целью определения неизвестных;
•дать анализ полученного ответа.
РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИЛЫ
До сих пор рассматривались силы, приложенные в одной точке, которые называются сосредоточенными. В действительности взаимодействие одного тела с другим осуществляется либо по некоторой площадке, либо по объёму тела. Пример поверхностных сил — давление воды на стенку плотины, объёмных — силы тяжести — они распределены по всему объёму тела, но часто, для удобства, мы заменяем эти силы их равнодействующей, приложенной к центру тяжести.
Распределённые силы характеризуются интенсивностью и направлением действия. Интенсивностью распределённой силы называется величина силы, приходящаяся на единицу объёма, площади или длины линии.
62
Силы принимаются распределёнными по линии в том случае, когда размерами тела в поперечном направлении можно пренебречь по сравнению с его длиной. Такие тела называются стержнями или балками. Распределёнными, обычно, бывают параллельные или сходящиеся силы, однако, распределёнными могут быть и пары сил.
Рассмотрим вопросы замены распределённых сил сосредоточенными силами. Пусть силы распределены по отрезку АВ, длиной L. Разобьём весь отрезок AB на элементарные участки xk . На каждый из них действует сила равнаяqk xk , т. к. из-за малости участка интенсивность в его пределах можно считать постоянной. Суммируя элементарные силы, найдём равнодействующую. Величина её равна главному вектору
Q = ∑qk xk
k
При устремлении к нулю элементарной длины |
xk сумма сил перей- |
|||||
дёт в интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
Q = ∫q (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Точка приложения равнодействующей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силы определяется с помощью теоремы Ва- |
|
q (x) |
Q |
|
||
риньона: |
|
|
|
|
|
|
|
O |
A |
|
|
|
B |
−Q |
OC = −∑(qk xk )xk , |
|
L C |
|
|
x |
k
или при предельном переходе
L
Q OC = ∫q (x)x dx
0
Откуда окончательно
L
∫q (x)x dx
OC = 0
Q
63
Частные случаи распределенных нагрузок.
• Распределение с постоянной интенсивностью.
q(x) = q = const, Q = q AB = q L, AC = 12 AB = 12 L
• Распределение с линейно изменяющейся интенсивностью.
q(x) = qmin + qmax − qmin x,
L
Q = 12 (qmax + qmin )L,
AC = 1 2 qmax + qmin L 3 qmax + qmin
• Еслиqmin = 0, то получаем треугольное распределение
q(x) = qmax Lx ,
Q = |
1 |
q L, |
AC = |
2 |
L |
|
3 |
||||
|
2 max |
|
|
||
Распределённая нагрузка, заданная под углом α
• Распределение с постоянной интенсивностью
q(x) = q = const, Q = q L,
AC = 12 AB = 12 L
64