ния в общее решение дифференциальных уравнений движения, получим частные решения, справедливые для данных в задаче начальных условий:

С учетом принятых обозначений эти решения примут вид

x = x (t, x0 , y0 , z0 , v0 x , v0 y , v0z ), y = y (t, x0 , y0 , z0 , v0 x , v0 y , v0z ), z = z (t, x0 , y0 , z0 , v0 x , v0 y , v0z ).

Заметим, что под действием одной системы сил точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями.

Если каким-либо образом удалось сразу получить первые интегралы, то дальнейшее решение задачи сводится к однократному интегрированию трёх дифференциальных уравнений первого порядка.

ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Как уже говорилось ранее, основной закон динамики для несвободной материальной точки, а следовательно, и ее дифференциальные уравнения движения имеют такой же вид, как и для свободной точки. В этом случае к действующим на точку силам необходимо добавить силы реакций связей.

Пусть материальная точка движется по заданной гладкой неподвижной поверхности, уравнение которой в декартовой системе координат за-

дано выражением f (x, y, z)= 0 . Применяя принцип освобождаемости от связей, и составляя основное уравнение динамики несвободной точки, получим:

ma = F + N ,

77

где F — равнодействующая активных сил, действующих на точку,

N = Nν — неизвестная реакция связи, действующая по внешней нормали к поверхности.

Проектируя это уравнение на оси декартовой системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения точки по гладкой поверхности:

Поэтому направляющие косинусы вектора ν и, следовательно, нор-

мальной реакции опоры N к поверхности f (x, y, z)= 0 определяются вы-

ражениями:

Полученные дифференциальные уравнения — уравнения Лагранжа первого рода для несвободной материальной точки; вместе с уравнением

78

связи f (x, y, z)= 0 позволяют определить четыре неизвестные x, y, z, λ

как функции времениt . Алгебраическое значение нормальной реакции находится затем по формуле N = λ f .

При движении материальной точки по негладкой поверхности, кроме

нормальной реакции возникает сила тренияFтр , направленная против век-

тора скорости точки, величину которой можно определить векторным выражением

Fтр = −Fmax sign (v)τ = −Fmax vv ,

где Fmax = μ N — предельное значение силы трения, μ — коэффициент трения.

Дифференциальные уравнения движения точки в этом случае запишутся в виде

При движении точки по заданной гладкой пространственной кривой необходимо учесть, что кривую линию в пространстве можно рассматривать как геометрическое место пересечения двух поверхностей f1 (x, y, z)= 0 и f2 (x, y, z)= 0 .

Эти поверхности создадут для движущейся точки две нормальные реакции N1 иN2 , и поэтому полная нормальная реакция пространственной кривойN = N1 + N2 . Дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода в этом случае примут вид

79

где соответственно

Совместно с двумя уравнениями поверхностей получаем пять уравнений для определения пяти неизвестных величин x, y, z, λ1, λ2 как функ-

ции времени.

При движении точки по плоской кривой удобно использовать естественную систему координат. Проектируя векторное уравнение на оси τ и n (касательную и главную нормаль к траектории), получим

Эти уравнения называются уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера. Уравнения движения несвободной точки в форме Эйлера с учётом трения запишутся в виде:

Добавив к ним закон КулонаFтр = μ N , будем иметь систему уравне-

ний, достаточную для определения закона движения s (t) и сил N иFтр .

80