|
|
d (rk ×mk vk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
OФ = − |
= − |
d K |
O |
= − |
d |
(rC ×m vC + K |
C ), |
|||
M |
||||||||||||
d t |
|
|
|
d t |
||||||||
|
|
|
|
d t |
|
|
||||||
где KO — кинетический момент системы относительно центра О.
Обобщенные силы
Наряду с понятием обобщенной координаты qi в механике вводится величина обобщенной силыQi , основанное на понятии элементарной рабо-
ты силы на возможном перемещенииδ r .
Сумма элементарных работ активных сил
|
N |
|
|
n N |
|
|
∂rk |
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
δ A = ∑Fk δ rk = ∑ ∑Fk |
|
δ qm |
= ∑Qm δ qm , |
|||||||||
|
||||||||||||
|
k =1 |
|
|
m=1 k=1 |
∂qm |
|
m=1 |
|||||
N |
∂rk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Qm = ∑Fka |
|
— обобщённые силы. |
|
|
|
|||||||
∂qm |
|
|
|
|||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Каждая обобщённая сила Qm соответствует своей обобщённой коор-
динате qm (число обобщённых сил равно числу степеней свободы), и опре-
деляется выражением
|
|
N |
|
|
|
|
Q |
= |
∑δ Ak (m) |
,δ q ≠ 0, |
δ q = 0, ..., |
δ q = 0 . |
|
k=1 |
|
|||||
|
|
|||||
m |
δ qm |
m |
1 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
Если все активные силы являются потенциальными, то обобщённые
силы для консервативной системы вычисляются по формулам
Qm = − ∂∂qΠm .
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Механической системой называют совокупность материальных то-
чек, взаимодействующих между собой..
Все силы, действующие на механическую систему можно условно разделить на активные и реактивные (силы реакции), или на внешние и
96
внутренние силы. Если это силы взаимодействия между точками механической системы, то это внутренние силы, в противном случае — это внешние силы. Примером внутренних сил могут служить силы упругости, воз-
никающие между частицами упругого тела. Разделение сил на внутренние
и внешние является условным. Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается. Заметим, что внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и силы реакций связей.
Дифференциальные уравнения движения механической системы
Рассмотрим систему, |
|
состоящую из N материальных точек |
|||||
(рис. 3. 4). Обозначим через |
|
|
e |
|
|
i |
равнодействующие всех внешних и |
F |
и F |
||||||
|
|
k |
|
k |
|
||
внутренних сил, приложенных к точкеmk . Составим для каждой точки сис-
темы дифференциальные уравнения движения:
|
|
|
e |
|
|
i |
, где k =1,..., N |
|
|
|
|
||||||
mk rk |
= Fk |
+ Fk |
||||||
z |
|
m3 |
m2 |
m1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
mk |
|
||
|
rk |
|
|
|
|
vk |
||
|
Fki |
|
mn |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Fke
О y
x
Рис. 3. 4. Движение произвольной точки механической системы
Полученные уравнения называются дифференциальными уравне-
ниями движения системы материальных точек. Внутренние силы, входящие в эти уравнения, как правило, являются неизвестными. Интегрирование этих уравнений при известных внешних силах и начальном состоянии
97