где vτ = v τ = dd st — проекция вектора скорости на единичный вектор ка-

сательной к траектории vτ = v = x2 + y2 + z2 .

Следовательно, вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Ускорение точки.

При изучении движения необходимо знать, как быстро меняется скорость по величине и направлению. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Ускорение точки при векторном задании движения.

ную скорость изменения скорости, т. е. ускорение

Рис. 1. 4. Ускорение точки

Ускорение точки при координатном способе задания движения

В том случае заданы координаты как функции от времени x = x (t), y = y (t), z = z (t)

11

Так как скорость можно разложить на составляющие вдоль координатных осей, то после дифференцирования по времени получим:

a = v = vx i + vy j + vz k = ax i + ay j + az k = x i + y j + z k

Модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы можно вычислить по формулам:

Скорость точки определяется формулой:

v = s τ = vτ τ .

Найдём ускорение, продифференцировав это соотношение по времени. Учтём при этом, что единичный вектор касательной τ меняет направление при движении точки, и он может быть рассмотрен как сложная век-

торная функция τ =τ s (t) . Тогда

a = s τ + s ddτt = s τ + s2 ddτs = vτ τ + vρτ 2 n = aττ + ann

где aτ = s = vτ — называется касательным (тангенциальным) ускорением,

an = vτ 2 — называется нормальным ускорением.

ρ

Т. к. aτ an , модуль ускорения можно найти по теореме Пифагора:

a = aτ2 + an2

Определение проекций ускорения на естественные оси при координатном способе задания движения

Из изложенного выше следует, что вектор ускорения располагается в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Проекции вектора ускорения на естественные оси равны:

12

Касательное ускорение можно определить следующим образом. Представим единичный вектор касательной в виде τ = v v . Тогда

кривизны: ρ = v2 an .

Классификация движений точки по ускорению

Анализируя вышесказанное, можно сделать следующие выводы:

•если aτ ≠ 0, an = 0 , то точка движется прямолинейно;

•если aτ = 0, an ≠ 0 , то точка движется равномерно по криволинейной траектории;

•если aτ > 0, v > 0 или aτ < 0, v < 0 , то точка движется ускоренно в сторо-

ну возрастания или убывания дуговой координаты соответственно;

• если aτ < 0, v > 0 или aτ > 0, v < 0, то точка движется замедленно;

• если ρ = const , то точка движется по окружности.

13