СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотрим движение голономной механической системы с одной степенью свободы под действием упругой силыF , обладающей потенциалом. Положение системы определяется одной обобщённой координатойq ,

которую будем отсчитывать от равновесного состояния. Тогда движение системы будет описываться одним уравнением Лагранжа II рода:

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы.

q +k2 q = 0 ,

где k = cm — частота свободных колебаний механической системы.

Решение этого уравнения можно записать в виде

q (t)= A1 sin (k t)+ A2 cos(k t)илиq (t)= A0 sin (k t +α0 ),

где A0 , A1, A2 ,α0 — константы, определяемые из начальных условий:

q0 , q0 — начальное положение и начальная скорость.

Типичный график движения механической системы, определяемый данным уравнением, изображен на рис. 3. 9. Коэффициенты интегрированияA0 , α 0 имеют вполне определенный механический смысл (см.

рис. 3. 9):

•A0 — амплитуда свободных колебаний,

•α0 — начальнаяфаза колебаний.

118

q

n > k

t

n = k

Рис. 3. 10 Апериодическое движение при большом сопротивлении

• n = k — решение имеет вид (рис. 3. 10):

q(t)= e−nt A1 t + A2 ;

• n > k — решение имеет вид (рис. 3. 10):

q (t) = A0e−nt sh (k1 t +α0 ),

где A0 , A1, A2 , α0 — также как и в случае колебательного движения без со-

противления, константы интегрирования, определяемые из начальных условий.

При n > k движение механической системы имеет апериодический характер, типичный график которого, изображен на рис. 3. 10.

• n < k — (случай малого сопротивления) решение имеет вид (рис. 3. 11): q (t) = e−nt A1 sin (k′t)+ A2 cos(k′t) илиq (t)= A0 e−nt sin (k′t +α0 ).

Здесь k′= k 1−ν2 — называется частотой свободных затухающих коле-

баний, ν = nk — относительный коэффициент затухания, константы ин-

120

Период затухающих колебаний определяется соотношением

Степень затухания колебательного движения определяется декрементом колебанийD , который определяется отношением двух последова-

тельных максимумов кривой q (t) или логарифмическим декрементомη:

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ

Пусть на некоторую точку механической системы с наложенными стационарными голономными связями, кроме упругой силы и силы сопротивления пропорциональной первой степени скорости, действует периодическое возмущение. Характер такого возмущения может иметь разные причины. Наиболее часто встречаются случаи силового и кинематического возмущения. В качестве примера рассмотрим динамическую модель машины, установленной на фундаменте (рис. 3. 12). Машина массой m является амортизируемым объектом, а фундамент – основанием. Амортизатор, помещенный между объектом и основанием, имеет приведённый коэффи-

121

циент жёсткости c и приведённый коэффициент демпфированияμ . На рис. 3. 12 (а) представлен случай силового возмущения, а на рис. 3. 12 (б)

— случай кинематического возмущения.

При силовом возмущении уравнение Лагранжа II рода для такой сис-

где обобщенная неконсервативная сила QH определяется выражением

QH = F0 sin (p t +ϕ),

аF0 , p , ϕ — амплитуда, частота и фаза возмущающей силы.

При кинематическом возмущенииs (t), где s (t)= S0 sin (pt +ϕ) — за-

кон обобщенного перемещения основания, S0 , p, ϕ — амплитуда, частота и фаза кинематического возбуждения, уравнение Лагранжа II рода примет вид

где обобщенная сила инерции QФ определяется выражением, аналогичным выражению для неконсервативной силы

QФ = F0 sin (p t +ϕ),

а F0 — амплитуда обобщенной силы инерции, определяемая выражением

122

F0 = m S0 p2 .

Подставляя выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа, окончательно получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы с учётом сил сопротивления и возмущающей силы

q +2 n q + k2 q = h0 sin (p t +ϕ),

гдеh0 = F0 m , h0 = S0 p2 m — относительная амплитуда возмущения при силовом или кинематическом возбуждении соответственно.

Данное уравнение описывает колебательный процесс механической системы с одной степенью свободы как в случае силового, так и кинематического возбуждения. Однако механический смысл коэффициентов правой части различен. Существенное различие этих случаев состоит в том, что при силовом возбуждении h0 не зависит от частоты возмущения, а при ки-

нематическом возбуждении величина h0 пропорционально квадрату часто-

ты возмущения.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения для случая малого сопротивленияn < k , имеет вид

q = A0 e−nt sin (k′t +α0 )+ B0 sin (pt +ϕ − β0 ),

123

Здесь z = pk — коэффициент расстройки или относительная частота воз-

мущающей силы;ν = nk — относительный коэффициент затухания (демп-

фирования); B = mFk0 2 — при силовом возмущении ( B в данном случае —

величина равная статическому отклонению системы под действием посто-

янной возмущающей силы, модуль которой равенF0 ), B = S0 z2 — при ки-

Таким образом, вынужденные колебания представляют собой сложение двух колебательных процессов: собственных колебаний и колебаний от действия возмущающей силы. Типичный график вынужденных колебаний при наличии сопротивления изображен на рис. 3. 13.

Следует отметить, что учет сопротивления движению приводит к тому что, начиная с некоторого момента времениtу , называемого временем уста-

124