ωx =ψ sinθ sinϕ +θ cosϕ,

ωy =ψ sinθ cosϕ −θ sinϕ,

ωz =ψ cosθ +ϕ,

которые выражают проекции вектора угловой скорости вращения твердого тела на оси подвижной системы координат, скрепленные с телом через углы Эйлера и их производные по времени.

η

Рис. 3. 6 Сферическое движение твердого тела.

Динамические и кинематические уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка; интегрирование этой системы представляет сложную математическую задачу. Для интегрирования этих уравнений при решении конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы.

Условия интегрируемости уравнений движения

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях существует система дифференциальных уравнений, из которых углы Эйлера определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют условиями интегрируемости.

109