КРИТЕРИИ И УСЛОВИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Теория вынужденных колебаний имеет много важных приложений в различных областях науки и техники. При проектировании конструкции, подверженной воздействиям возмущающих сил, чаще всего стараются подобрать соотношения размеров и масс конструкции, чтобы по возможности отодвинуть условия нормального режима работы ее от резонансных условий. При этом используется важное свойство колебательного процесса, позволяющее при больших значениях возмущающей силы сделать амплитуду вынужденных колебаний очень малой за счет подбора соотношений между частотами p и k.

Из анализа уравнения вынужденных колебаний можно сделать следующие выводы:

•вынужденные колебания при наличии сопротивления с течением времени, величина которого зависит от степени сопротивления, происходят

с частотой возмущающей силы, посколькуA0 = const , sin (k′t +α0 ) ≤1

при любом значении t, а e−nt — быстро убывающая функция.

•амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий и времени не зависит. При резонансе p = k , амплитуда вынужденных колебаний остается конечной и притом не самой большой из возможных значений для данной системы.

•в вынужденных колебаниях при наличии сопротивления всегда имеет место сдвиг фазы колебаний по сравнению с фазой возмущающей силы. При резонансе, когда p = k , сдвиг фазы принимает значение равноеπ / 2.

В случае малого сопротивления в области достаточно удаленной от резонанса когда p >> k , значения фазового смещения стремятся к величи-

неπ , а при p << k стремится к нулю.

129

При исследовании колебательных процессов механических систем используются два основных критерия: коэффициент динамичности и коэффициент передачи силы.

Коэффициент динамичности.

Амплитудой вынужденных колебаний определяются максимальные динамические напряжения, возникающие в упругих системах от воздействия на них гармонических возмущений. При одном и том же значении амплитуды возмущения, возникающие в системе напряжения, могут значительно изменяться в зависимости от изменения частот p илиk , а также ко-

эффициента сопротивленияn . Для исследования зависимости амплитуды установившегося режима от частоты p возмущения и коэффициента со-

противленияn , построим амплитудно-частотную характеристику системы. Для оценки изменений амплитуды B0 вводится в рассмотрение величи-

наλ , называемая коэффициентом динамичности:

При силовом возмущении коэффициент динамичности является отношением амплитуды вынужденных колебаний B0 к величине статическо-

го отклонения системы под действием постоянной возмущающей силы, модуль которой равенF0 .

При кинематическом возмущении коэффициент динамичности является отношением амплитуды вынужденных колебаний B0 к амплитуде ки-

нематического возбужденияS0 .

130

Коэффициент динамичности является функцией двух переменных и,

следовательно, его можно отобразить поверхностью f (λ, z, ν )= 0 в про-

странстве λ, z, ν (рис. 3. 19 — 3. 22).

λ

λ max

z

ν

Рис. 3. 19 Коэффициент динамичности λ(z, ν) при силовом возмущении.

ν = 2 2

z

Рис. 3. 20 Сечения поверхности λ(z, ν ) при фиксированных значениях ν для силового возмущения

Анализ данной поверхности показывает (см. рис. 3. 19 — рис. 3. 22),

что

•Максимальные значения коэффициента динамичности, а, следовательно, и амплитуд вынужденных колебаний достигаются при следующих значениях z (рис. 3. 20, рис. 3. 22):

131

•Максимальные значения коэффициента динамичности определяются выражением

•В областях близких к резонансуz ≈1, реализуемых при p ≈ k , макси-

мальное значение коэффициента динамичности определяется величинойλ =12ν .

λ

max (λ)

z

ν

Рис. 3. 21 Коэффициентдинамичности λ(z, ν) прикинематическомвозмущении.

•В областях, достаточно далеких от резонанса z >>1 илиz ≈ 0 , реализуемых при p >> k и p << k соответственно, амплитуда почти не отли-

чается от соответствующих амплитуд вынужденных колебаний без сопротивления и ее можно вычислять по формулам

132