ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дифференциальные уравнения различных типов движений твердого тела можно получить, применяя соответствующие теоремы динамики.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Из теоремы о движении центра масс получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела. Из кинематики известно, что при поступательном движении все точки имеют одинаковые харак-

теристики (скорость, ускорение), следовательно, движение тела определяет-

ся движением одной точки, За такую точку целесообразно принять центр масс системы. Тогда на основании теоремы получим

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной точки.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной осиO z .

Угловую скорость его вращения в произвольный момент времени обозначимω. Тогда кинетический момент этого тела относительно оси O z равен

KO z = IOzω.

103

Учитывая постоянство момента инерции для твёрдого тела, согласно теореме об изменении кинетического момента имеем

Это и есть дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Частные случаи:

•если∑MOz (Fke )= 0 , тоω = const , т.е. вращение равномерное;

k

•если∑MOz (Fke )= const , тоε = const , т.е. вращение равнопеременное.

k

Следует отметить, что дифференциальное уравнение вращательного движения аналогично по структуре дифференциальному уравнению по-

ступательного движения твёрдого тела, откуда следует, что момент инер-

ции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т.е. он характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении. В этом смысле момент внешних сил аналогичен

силам в поступательном движении.

Нахождение реакций в подшипниках

Дифференциальное уравнение вращательного движения не позволяет определить реакции опор, удерживающих тело на оси вращения. Для их нахождения необходимо применить теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента, записанных в проекциях на оси

координат или воспользоваться принципом Даламбера. Например, для де-

картовой системы координат xAyz (рис. 3. 5) получим

104

∑M X (Fk )−YB AB − I yzω2 + Izxε = 0,

k

∑MY (Fk )+ X B AB + Izxω2 + I yzε = 0,

k

∑M Z (Fk )− Iz ε = 0.

k

Последнее уравнение данной системы полностью совпадает с дифференциальным уравнением вращательного движения, полученного ранее.

Рис. 3. 5 Динамические реакции подшипников.

Для нахождения неизвестных реакций в подшипниках остается пять алгебраических уравнений. Обычно полные реакции в подшипниках раскладывают на статические и динамические составляющие

которые статически уравновешивают приложенные внешние силы. Урав-

105