1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.
Малой называется деформация, при которой изменение расстояния между точками среды мало по сравнению с самим расстоянием:
(60)
или
Рассмотрим тензор деформаций
в случае малой деформации. Деформация,
как мы видели в subsection 2, характеризуется
градиентами смещений
.
Поэтому малость деформаций означает и
малость
.
Действительно, положим
,
.
Для
имеем:
Отсюда для имеем оценку:
Следовательно, согласно
(209)
Малость градиентов смещений позволяет в выражении (207) для тензора деформаций Лагранжа-Грина пренебречь квадратичными членами. Поэтому, в случае малой деформации тензор деформаций имеет вид:
(61)
Этот тензор называется тензором деформаций Коши, а выражения (211) иногда называют уравнениями Коши (см. section 6).
Замечание.
В случае малой деформации Эйлерово и
Лагранжево описания деформации среды
совпадают. В выражениях для тензора
деформаций Лагранжа и Эйлера квадратичными
членами можно пренебречь, а
.
Действительно:
Следовательно, в силу малых деформаций тензопы Лагранжа и Эйлера совпадают между собой и равны тензору Коши.
В подавляющем числе случаев основных, интересующих нас, приложений динамической теории упругости деформация является малой. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только малые деформации.
Заметим, что в случае деформации трехмерного тела, все размеры которого в различных направлениях соизмеримы, малость деформации означает также и малость смещений. Очевидно, что такое тело не может быть деформировано так, чтобы отдельные его члены сильно переместились в пространстве, без возникновения в теле сильных растяжений и сжатий.
Иначе обстоит дело при деформации тел, один из размеров которого сильно отличается от других. Например при изгибе тонкого стержня, его концы могут значительно сместиться даже при малой деформации. В своем рассмотрении мы не будем касаться таких случаев.
Резюме section 1.
В этом параграфе введено понятие деформации и определен математический аппарат для ее описания.
1) В качестве подхода к описанию движения (деформации) сплошной среды выбран Лагранжев подход, согласно которому движение среды описывается изменением координат точек (частиц) среды.
2) Деформация в каждой точке среды характеризуется тензорной величиной, описывающей изменение положения точек бесконечно малой окрестности выбранной точки относительно этой точки.
3) Компоненты тензора деформаций выражаются через градиенты вектора смещения точки в результате деформации.
4) Введено понятие малой деформации. В случае малой деформации компоненты тензора деформаций являются линейными функциями градиентлв смещений.
2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.
Деформация отвечает трансформации геометрического объекта --- множества точек. Поэтому компонентам тензора, описывающего деформацию, можно придать геометрическое толкование. Выяснение геометрического смысла компонент тензора деформаций делает этот абстрактный математический объект более наглядным.