Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
_Elastic.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
4.81 Mб
Скачать

1.3 Ьалая деформация. Тензор Коши.

Малой называется деформация, при которой изменение расстояния между точками среды мало по сравнению с самим расстоянием:

(60)

или

Рассмотрим тензор деформаций в случае малой деформации. Деформация, как мы видели в subsection 2, характеризуется градиентами смещений . Поэтому малость деформаций означает и малость .

Действительно, положим , . Для имеем:

Отсюда для имеем оценку:

Следовательно, согласно (209)

Малость градиентов смещений позволяет в выражении (207) для тензора деформаций Лагранжа-Грина пренебречь квадратичными членами. Поэтому, в случае малой деформации тензор деформаций имеет вид:

(61)

Этот тензор называется тензором деформаций Коши, а выражения (211) иногда называют уравнениями Коши (см. section 6).

Замечание. В случае малой деформации Эйлерово и Лагранжево описания деформации среды совпадают. В выражениях для тензора деформаций Лагранжа и Эйлера квадратичными членами можно пренебречь, а .

Действительно:

Следовательно, в силу малых деформаций тензопы Лагранжа и Эйлера совпадают между собой и равны тензору Коши.

В подавляющем числе случаев основных, интересующих нас, приложений динамической теории упругости деформация является малой. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только малые деформации.

Заметим, что в случае деформации трехмерного тела, все размеры которого в различных направлениях соизмеримы, малость деформации означает также и малость смещений. Очевидно, что такое тело не может быть деформировано так, чтобы отдельные его члены сильно переместились в пространстве, без возникновения в теле сильных растяжений и сжатий.

Иначе обстоит дело при деформации тел, один из размеров которого сильно отличается от других. Например при изгибе тонкого стержня, его концы могут значительно сместиться даже при малой деформации. В своем рассмотрении мы не будем касаться таких случаев.

Резюме section 1.

В этом параграфе введено понятие деформации и определен математический аппарат для ее описания.

1) В качестве подхода к описанию движения (деформации) сплошной среды выбран Лагранжев подход, согласно которому движение среды описывается изменением координат точек (частиц) среды.

2) Деформация в каждой точке среды характеризуется тензорной величиной, описывающей изменение положения точек бесконечно малой окрестности выбранной точки относительно этой точки.

3) Компоненты тензора деформаций выражаются через градиенты вектора смещения точки в результате деформации.

4) Введено понятие малой деформации. В случае малой деформации компоненты тензора деформаций являются линейными функциями градиентлв смещений.

2 Теоретический смысл компонент тензора деформаций.

Деформация отвечает трансформации геометрического объекта --- множества точек. Поэтому компонентам тензора, описывающего деформацию, можно придать геометрическое толкование. Выяснение геометрического смысла компонент тензора деформаций делает этот абстрактный математический объект более наглядным.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]