Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
_Elastic.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
4.81 Mб
Скачать

1 Глава 1. Тензоры в декартовых координатах.

В механике сплошных сред наровне с обычными в механике материальной точки скалярами и векторами мы будем использовать более сложные математические объекты --- тензоры. В связи с этим в настоящей главе будут изложены основные понятия, определения и свойства, касающиеся тензоров. Материал главы ни в коей мере не претендует на полноту и математическую строгость; будут приведены только те сведения, которые имеют непосредственное практическое значение для изложения основного материала. В частности, мы будем рассматривать тензоры,заданные только в системе координат. Полное и строгое изложение математической стороны дела следует искать в специальных курсах тензорного исчисления.

? 1.ПОНЯТИЕ и ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА.

1*.Преобразоване координат.

Рассмотрим некоторую систему координат и точку пространства .Мы вольны ввести другую систему координат, в которой эта же точка будет иметь , координаты: . Поскольку точка --- одна и та же, --- ее координаты в различных системах координат --- должны быть взаимосвязаны, т.е.

(1)

Функции определяют преобразование системы координат от к .

Из имеем; например:

Введем соглашение о суммировании: если в произведении (или отношении) величин с индексами индекс повторяется дважды, то будем считать, что по этому индексу осуществляется суммирование от 1 до 3. В таком случае:

Для -й компоненты :

(2)

Обозначим

Матрица называется матрицей перехода от "нештрихованной"с.к. к "штрихованной" .

Будем рассматривать только взаимооднозначные преобразования с.к.В этом случае однозначно разрешимо относительно и, следовательно,

В случае декартовой с.к. элементы матрицы представляют собой, как известно , косинусы углов между соответствующими осями координат:

(3)

,где и --- соответствующие базовые векторы. Известно также, что в этом случае:

2*. Скаляры, векторы, тензоры.

Зададимся вопросом: какие математические объекты инвариантныпо отношению к преобразованию системы координат? Этот вопрос вполне естественен. Различные физичеакие объекты (например сила) существуют независимо от того, в какой с.к. мы их рассматриваем. Поэтому и описываться они должны инвариантным к преобразованию с.к. образом.

a) Скаляры (например, длина отрезкане зависят от системы координат, поскольку определяется теми или иными абсолютными значениями,которые не зависят от ориентации осей координат.

б) Векторы.Рассмотрим, для примера, силу , действующую в точке . Эта сила имеет определенное направление и величину, причем и направление и величина не зависят от того в какой с.к. мы эту силу решим описывать. Следовательно, для любых2---х систем координат должно выполняться равенство:

(4)

где и --- компоненты силы в различных с.к., а и --- соответствующие базисные векторы.

Выражение можно рассматривать как определение вектора. Из следует, что при преобразовании с.к. компоненты вектора болжны определенным образом преобразовываться --- так, чтобы тождественно выполнялось . Можно показать, что соотношения между компонентами вектора в старой и новой с.к. должны иметь вид:

(5)

В силу однозначности преобразования справедливо, что

(6)

Выражение , также как и , можно рассматривать как определение вектора: объект, характеризуемый тройкой величин, удовлетворяющих , является вектором.

в) Тензоры.Принцип инвариантности математического объекта по отношению к преобразованию с.к. можно обобщить на объекты более сложные, чем векторы.

Пусть некоторый объект характеризуется "двумерным" набором величин , , (в отличии от вектора, который характеризуется "одномерным" набором величин . Будем называть 2---го ранга, если величина инвариантна к преобразованию с.к.:

(7)

здесь ---диадное произведение базисных векторов. можно показать, что для удовлетворения необходимо и достаточно, чтобы компоненты тензора преобразовались бы по определенному закону:

(8)

Выражение можно также рассматривать как определение тензора 2---го ранга. Ясно, что справедливо и :

(9)

По аналогии с можно ввести определение тензора любого ранга :

(10)

Ранг тензора определяется количеством свободных, независимых индексов.

Таким образом, если некоторый объект характеризуется набором из --- величин, которые при преобразовании системы координат преобразуются в соответствии с , то этот объект будем называть тензором ранга .

Замечание.Сравнивая с замечаем, что определяет тензор I---го ранга.

Аналогичным образом скаляры можно рассматривать как тензоры нулевого ранга, т.к. для скаляра формула преобразования аналогичная , и имеет вид:

3*.Алгебра тензора.

Операция сложения и умножения тензоров сводится к сложению и умножению их компонент.

Сложение.Складывать можно тензоры только одного ранга:

сумма тензоров имеет тот же ранг, что и слагаемые.

Умножение.Умножать можно тензоры любых рангов.

Ранг произведения тензоров равен сумме рангов сомножителей.

Свертка.Под операцией свертки подразумевают суммирование по некоторым индексам. Например, свертка двух тензоров второго ранга по вторым индексам имеет вид:

Свертка тензора и вектора:

Свертка двух векторов является скаляроми называется скалярным произведением.

Иногда свертку тензоров называют их внутреннимумножением, в отличии от обычного умножения, называемого также внешним. Замечание.Иногда говорят о свертке тензора, понимая под этим суммирование компонент тензора по определенным индексам. Например, свертка 4---го ранга по второму и четвертому индексам:

4*.Теорема деления.

Как выяснить вопрос: является ли данный объект тензором или нет? Можно конечно воспользоваться определением тензора . Во многих случаях удобно, однако, использовать так называемую теорему деления.

Теорема деления(без доказательства):

Объект , заданный числами, является тензором ранга , если его свертка с тензором ранга является тензором ранга . т.е. если

(11)

где --- тензор ранга

---тензор ранга , то --- тензор ранга . В случае тензора второго ранга выражение примет вид:

(12)

где и --- векторы. Замечание. Выражение свидетельствует о том, что тензор 2---го ранга можно рассматривать как линейный операторв пространстве векторов. Действительно, если под действием оператора на вектор понимать свертку тензора с вектором , то выражение является определением линейного оператора в векторном пространстве.

Представление тензора 2---го ранга как линейного оператора позволяет использовать в механике сплошной среды теорию линейных операторов, разработанную в линейной алгебре.

Резюме ?1. 1. Введено понятие тензора как математического объекта, инвариантного к операции преобразования системы координат --- инвариантна свертка тензора с базисными векторами. Компоненты тензора преобразуются при преобразовании системы координат строго определенным образом. Понятие тензора является обобщеннымпонятием скаляра и вектора. Последние можно рассматривать как тензоры нулевого и первого рангов соответственно. 2. Определены алгебраические операциинад тензорами: сложение, умножение, свертка. 3. Сформулирована теорема деления, позволяющая исследовать вопрос о тензорной природе математических объектов. 4. Отмечено, что тензор второго ранга можно рассматривать как линейный операторв пространстве векторов.

?2. Символ Кронекера и тензор Леви---Чивиты.

Рассмотрим два тензора специального вида, имеющих широкое применение в механике сплошной среды. 1*.Символ Кронекера.

По определению символ Кронекера:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]