2.1 Изменение длины отрезков при деформации.

Введем понятие линейной деформации (относительно удлинения) как:

(62)

где и ---элементы длины соответственно до и после деформации. Если , то (213) описывает относительное удлинение элемента , если , то --- относительное сжатие.

Рассмотрим малую деформацию и рассчитаем линейную деформацию элемента . В силу малой деформации .

Согласно (206) в этом случае

а поскольку, очевидно, :

Подставляя сюда выражение для из (213) и учитывая малость , найдем, что:

(63)

(64)

(65)

Таким образом, диагональные элементы тензора деформаций --- суть относительные удлинения или сжатия отрезков в направлениях соответствующих осей координат. При этом удлинениям отвечают положительные значения , сжатиям --- отрицательные.

2.2 Изменение углов при деформации.

Выберем два линейных элемента и , ортогональных до деформации таким образом, чтоЖ

и

После деформации эти элементы перейдут в элементы и :

(66)

(67)

В общем случае элементы и dq' уже не будут ортогональны. Обозначим угол между ними через .

Найдем скалярное произведение:

но, согласно (205):

Следовательно :

Согласно (191) и . Подставляя это в полученное выражение, найдем, что

или, с учетом малости деформации:

Введем угол . Он равен величине изменения прямого угла в плоскости при деформации. Тогда имеем:

а с учетом малости и, следовательно, малости окончательно находим:

(68)

Таким образом, недиагональные компоненты тензора деформаций равны половинам величин изменения при деформации прямых углов в соответствующих плоскостях (выраженных в радианах). При этом, если , то соответствующий угол уменьшается, а если , то --- увеличивается.

Резюме section 2.

Выяснен геометрический смысл компонент тензора деформаций.

1. Диагональные компоненты --- суть относительные удлинения отрезков вдоль соответствующих осей координат.

2. Недиагональные компоненты --- суть половины величин изменения прямых углов в соответствующих координатных плоскостях.

3 Разложение смещения на деформацию и вращение.

Экспериментально измеряемой в МСС величиной обычно является смещение, а о деформации судят, анализируя функции . Поэтому рассмотрим более подробно соотношение смещения и деформации.

3.1 Разложение смещения.

Выше уже отмечалось, что деформация характеризуется изменением вектора смещения в пространстве. Поэтому, рассмотрим прирощение смещения в некоторой точке . Очевидно, что:

В этом случае нас интересует геометрический смысл выражения:

Рассмотрим выражения и , выясним их геометрическое содержание. Для этого найдем величину угла . Из рисунка:

(69)

(70)

Следовательно, с учетом малости деформации:

Аналогично получим, что:

Тензор называют иногда градиентом перемещений, или дисторсией. Его можно разложить на симметричный и антисимметричный тензоры:

Симметричная часть совпадает с тензором деформаций; антисимметричную часть обозначим через :

(71)

Тогда, приращение можно записать:

(72)

Из выражения (216) следует, что перемещение помимо деформационного компонента содержит еще одну составляющую, описываемую тензором .