8.3 Поверхностная волна Лява

.

Рассмотрим волну , распространяющуюся в среде, представляющей собой упругий слой, лежащий на упругом полупространстве. Скорость волн в слое --- , в полупространстве --- . В соответствии с выбранной поляризацией, вектор смещения имеет в данном случае единственную компоненту . Будем обозначать ее как . Решения будем искать в виде плоской неоднородной волны , распространяющейся вдоль оси .

В полупрсотранстве, в соответствии с (236):

(245)

где . В слое:

Подставляя в волновое уравнение:

найдем для :

где

Следовательно:

(246)

Эти решения следует подставить в граничные условия.

Граничные условия в рассматриваемом случае имеют вид:

и

Эти условия для дают:

и

Подстановка сюда решения (245) дает однородную ситему уравнений относительно и . Приравнивая нулю ее определитель получим дисперсионное уравнение для поверхностной волны Лява:

(247)

Дисперсионное уравнение имеет решение только при действительных и . --- вещественно по построению решения (245) --- в силу требования . Подставляя в (247) от противного и учитывая тождество

Находим, что

Но, поскольку и это уравнение решения не имеет. Следовательно не может быть мнимым и .

Условия действительности и дают с учетом выражений для и область изменения скорости волны Лява :

Это неравенство является и условием существования волны Лява (являясь условием разрешимости уравнения (247)ю Оно означает, что волна Лява образуется только, если скорость волн в слое меньше, чем в полупространстве:

Подставляя в дисперсионное уравнение (247) выражение , получим уравнение для определения скорости волны Лява:

(248)

Решение уравнения (248) зависит от частоты : . Следовательно, поверхностная волна Лява в рассмотренной среде испытывает дисперсию (в отличии от всех рассмотренных до сих пор упругих волн).

Дисперсия волны Лява обусловлена наличием слоя кончной мощности . Действительно, для изкочастотных волн, длина которых значительно превосходит , слой практически незаметен. Эти волны распространяются так же, как в однородной среде --- со скоростью Для высокочастотных волн, длина которых много меньше , слой является практически полупространством, и эти волны распространяются в них со скоростью Волны с длиной соизмеримой с имеют скорость промежуточную между и , в зависимости от частоты волны:

Подставляя решение дисперсионного уравнения в (245) можно исследовать зависимость амплитуды волны Лява от глубины . Легко видеть, что в слое амплитуда осциллирует, а в полупространстве экспоненциально убывает. Глубина проникновения волны Лява в полупространство по порядку величины равна длине волны (как и в случае волны Рэлея).

Резюме section 8.

1. Наличие свободной границы сплошной упругой среды приводит к формированию специфических упругих волн. Эти волны распространяются вдоль поверхности полупространства, а их амплитуды экспоненциально затухают с глубиной. Тем самым эти волны распространяются в тонком слое мощностью порядка длины их волны и называются поэтому поверхностными.

2. В зависимости от поляризации поверхностные волны разделяют на волну Рэлея и волну Лява.

3. Волна Рэлея представляет собой суперпозицию неоднородных волн и , и поляризована в вертикальной плоскости, проходящей через направление распространения волны.

4. Волна Лява возникает при наличии границы внутри среды. Она является поперечной линейно поляризованной волной, ее фазовая скорость зависит от частоты (имеет место дисперсия).

Заключение section 6.

В однородной изотропной упругой среде могут существовать упругие объемные волны двух типов, обозначаемые буквами и . Процесс распространения упругих волн является адиабатическим.

Волна является волной изменения объема; она линейно продольно поляризована. Волна являются волной изменения формы; она поляризована поперечно. Волны, поляризованные в вертикальной плоскости, называют , в горизонтальной --- .

Скорости объемных волн и не зависят от их частоты и направления распространения (в изотропной среде). Скорость волн меньше скорости волн . Справедливо соотношение:

Поток энергии упругих волн пропорционален квадрату скорости смещения частиц среды в волнею Кинетическая энерги движения частиц равна потенциальной энергии деформации среды, вызванной прохождением волны.

В анизотропной среде скорость упругих волн зависит от направления их распространения. В каждом направлении распространяются тр волны с, вообще говоря, различными скоростями, поляризованные линейно в трех взаимно ортогональных направлениях.

При наличии скоростной границы среды объемные волны испытывают отражение и преломление, причем имеетместо изменение типа волны: в и в Углы падения, отражения и преломления связаны законом Снеллиуса.

Наличие свободной границы упругой среды обуславливает формирование специфических упругих волн, называемых поверхностными. Эти волны распространяются вдоль поверхности полупространства, захватывая своими колебаниями слой мощностью порядка длины волны. В зависимости от поляризации, разделяют поверхностные волны Лява и Рэлея. ва