12.2 Изотермические и адиабатические модули.

В предыдущих параграфах, при формулировке закона Гука, мы рассматривали деформацию без изменения температуры. Поэтому, все введенные нами модули упругости являются изотермическими. Это обстоятельство формально следует и из (227).

Действительно, для изотермического процесса и (227) совпадает с (171). Будем обозначать изотермические модули с помощью индекса : , и т.д.

Существенным типом деформирования, особенно в динамическимх процессах, является адиабатическое деформирование. Найдем связь модулей упругости при адиабатическом процессе с изотермическими модулями. Адиабатические модули будем снабжать индексом : и т.д.

При адиабатическом процессе не происходит обмена теплом между частями тела, энтропия остается неизменной, а температура изменяется. Изменение температуры вызывает деформации дополнительно к деформациям, обусловленным внешними силами. Поэтому соотношение между напряжениями и деформациями изменяется, что и обуславливает отличие адиабатических модулей от изотермических.

Найдем изменение температуры при адиабатическом деформировании. В этом случае энтропия тела остается неизменной.

Энтропию тела можно найти как производную:

Подставляя сюда (227), получим:

или

Рассмотрим теперь адиабатический процесс, в результате которого объемная деформация стала равна , а температура изменилась от до , из условия

Найдем, что

Учитывая теперь, что

получим:

(184)

Здесь ---теплоемкость при постоянном объеме, отнесенная, как и все термодинамические величины, к единице объема. Она связана с "обыкновенной" удельной теплоемкостью очевидным соотношением:

Теперь можно записать закон Гука для адиабатического процесса. Для этого нужно подставить (184) в (183):

Или:

где обозначено:

(185)

(186)

Для сплошной среды удобнее использовать теплоемкость при постоянном давлении . Из термодинамики известно, что

откуда

Оценка величины для горных пород дает значение . Это означает, что различием и в интересующем нас случае можно пренебречь.

Таким образом, связь адиабатических модулей с изотермическими имеет вид:

(187)

Здесь через обозначена "обычная" удельная теплоемкость (теплоемкость на единицу массы).

Заметим, что для горных пород при

следует отметить, что адиабатический и изотермический модули сдвига совпадают. Это обстоятельство является следствием однородности и изотропности среды. Тепловое расширение одинаково по всем направлениям и вызывает поэтому только объемную деформацию. Дополнительная деформация адиабатического теплового расширения учитывается в законе Гука изменением модулей упругости. А поскольку тепловое расширение не вызывает сдвигов, .

Резюме sectionДеформация с изменением температуры.

1. Малые изменения температуры при деформации упругой однородной и изотропной среды учитываются введением в изотермический закон Гука дополнительного члена, описывающего деформацию теплового расширения.

2. При адиабатическом процессе деформирования дополнительная деформация теплового расширения обуславливает различие адиабатического и изотермического модулей всестороннего сжатия и . Модули сдвига при адиабатическом и изотермическом процессах совпадают.

Заключение к chapterупругость.

Введение в рассмотрение МСС тела с определенными механическими свойствами осуществляется посредством определяющих соотношений, задающих связь динамических и кинематических характеристик состояния среды --- связь напряжений и деформаций. В случае линейно-упругого тела роль определяющих соотношений играет обобщенный закон Гука , связывающий компоненты тензора напряжений и деформаций линейными и однородными функциями.

Свойство упругости означает обратимость процесса деформирования материала: упругая деформированная среда после снятия нагрузки, вызвавшей деформацию, возвращается в исходное недеформированное состояние. В случае малых упругих деформаций связь напряжений и деформаций можно считать линейной.

Коэффициенты, входящие в обобщенный закон Гука называются модулями упругости и составляют симметричный по всем индексам тензор четвертого ранга. В общем случае упругая среда характеризуется 21-м упругим модулем. В случае однородной и изотропной среды количество модулей упругости уменьшается до 2-х и они являются константами.

Термодинамическое состояние упругой среды полностью характеризуется энтропией и деформацией или температурой и деформацией. Потенциальная энергия деформации упругой среды выражается сверткой по обоим индексам тензоров напряжений и деформаций.

Изменение температуры при упругой деформации приводит к возникновению дополнительной деформации теплового расширения. Эта дополнительная деформация обуславливает различие упругих модулей при изотермическом и адиабатическом процессах.