8 Поверхностные волны.
До сих пор мы рассматривали безграничное упругое пространство. В нем могут распространяться упругие объемные волны только двух типов --- волны и . Рассмотрим теперь волны в упругом полупространстве со свободной поверхностью.
Наличие свободной поверхности обуславливает формирование вблизи нее специфических упругих волн, называемых поверхностными (в полупространстве, конечно, распространяются и обычные объемные волны). Поверхностные волны распространяются вдоль границы полупрстронства, а их амплитуда быстро убывает в направлении от границы внутрь полупространства.
Формирование поверхностных волн обусловлено граничными условиями, налагаемыми на объемные волны на свободной поверхности полупространства.
8.1 Неоднородные плоские волны.
Рассмотрим упругое
полупространство. Ось
направим внутрь среды вдоль нормали к
границе. Исследуем вопрос о наличии
решений волнового уравнения в виде
плоских волн
или
^
,распространяющихся
вдоль границы
полупространства. В качестве направления
распространения волны выберем ось
Решение будем искать в виде:
Здесь
--- смещение
или
,
соответственно
равно или
или
.
Подстановка решения в волновое уравнение дает решение для (x_3):
где
,
штрихом обозначено дифференцирование
по
.
Решение этого уравнения известно:
Если
,
то функция
--- гармоническая и решение
представляет собой обучную объемную
плоскую волну, направление распрстранения
которой задается волновым вектором:
Для того, чтобы рассматриваемая
волна распространялась вдоль оси
необходимо, чтобы выполнялось условие:
или
.
В этом случае
--- экспоненциальная функция. Исхлдя из
естественного требования ограничеенности
,
при
следует положить
.
Т.о. волновое уравнение допускает
следующее решение:
(236)
Выражение (236) описывает
волну, распространяющуюся вдоль оси
со скоростью
.
Волна имеет плоский фронт, перпендикулярный
к границе полупространства и направлению
распространения волны (плоскость
.
Амплитуда колебаний в этой волне различна
в различных точках ее фронта --- она
экспоненциально убывает вдоль
(с глубиной). Неоднородность распределения
амплитуды колебаний по фронту плоской
волны принципиально отличает (236) от
рассматриваемых до сих пор однородных
плоских волн. Плоские волны типа (236)
называют неоднородными.
Заметим, что условие
существования неоднородной плоской
волны
означает, что
т.е. фазовая скорость неоднородных плоских волн меньше скорости соответствующей объемной волны.
В случае реального волнового движения вектор смещения является, как мы видели, суперпозицией векторов и (??). В случае неограниченной среды эти векторы --- независимы, т.е. волны и распространяются как две самостоятельные волны, независимые друг от друга --- они не связаны какими-либо фазовыми или амплитудными соотношениями. В полупространстве же наличие свободной границы нарушает такую независимость. Граничные условия связывают смещения и на поверхности полупространства, неоднородные плоские волны и уже не являются независимыми. Вектор смещения в этом случае является вполне определенным линейной комбинацией и u_s и определяет тем самым самостоятельную волну, называемую поверхностной волной.
Для отыскания связи неоднородных объемных волн и , определяющей поверхностную волну , следует подставить неоднородные волны и вида (236) в граничные условия на поверхности полупространства. Такая подстановка позволяет определить фазовую скорость поверхностной волны и соотношение амплитуд и фаз образующих ее неоднородных и волн.