7 Упругость с точки зрения термодинамики.

Модель среды, как отмечалось в начале этой главы, определяется соотношениями между напряжениями и деформациями. При термодинамическом описании деформирования эти соотношения фактически задаются выражениями (138). Если для рассматриваемой модели определены функции

или

то выражение (138) позволяет получить определяющие соотношения в явном виде. Определим свободную энергию для упругой модели среды.

7.1 Свободная энергия упругой среды.

Введем понятие упругости.

Тело будем называть упругим, если при снятии нагрузки деформированное этой нагрузкой тело возвращается в исходное состояние. В частности, если по прекращениии действия на него внешних сил оно возвращается в исходное недеформированное состояние. В терминах и понятие упругости означает, что и связаны взаимно-однозначной функцией и при .

Исходя из этого определения упругости найдем выражение для свободной энергии . Будем пока рассматривать дефомацию при постоянной температуре. Термоупругость рассмотрим отдельно (в ??.

Разложим функцию в ряд по в окрестности точки и воспользуемся имеющимися в нашем распоряжении требованиями:

1. Малость ( )

2. Упругость. (Взаимная однозначность и и при ).

Обозначим:

и

Тогда:

(140)

Первое требование --- малость деформаций позволяет ограничиться в (215) младшими по членами.

Второе требование --- упругость --- определяет, что и, следовательно, в (215) следует ограничиться квадратичными по членами. Покажем это.

Подставив (215) в (139) определим :

Заменяя немые индексы в первой свертке, получим:

требование упругости определяет, что при должно быть . Подставляя это в полученное выражение для находим, что при :

Таким образом, свободная энергия для упругой среды при малых деформациях имеет вид:

(141)

Постоянный член в (216) --- свободная энергия недеформированного тела для нас не представляет интереса. Поэтому в дальнейшем будем его опускать, подразумевая под только свободную энергию деформации упругого тела, или, как говорят, упругую свободную энергию.

7.2 Свойства упругой свободной энергии.

В силу симметричности тензора деформаций из (216) следует, что

(142)

В силу симметричности выражения (216) относительно тензора деформаций из него следует также, что

(143)

Свойства (217) означает, что тензор содержит 21 независимую компоненту.

Выражение (216) дл является квадратичной формой от . Из термодинамики известно, что в состоянии равновесия свободная энергия достигает своего минимума. Но в равновесном состоянии . Следовательно:

и при т.е. свободная упругая энергия является положительно определенной формой.

7.3 Обобщенный закон Гука.

Подставим (216) в (139) и найдем :

Учитывая свойство симметричности (??), это можно переписать как:

(144)

Это выражение совпадает с обощенным законом Гука (203). При этом

Т.о. обощенный закон Гука, основанный на эмпирических данных, отвечает введенному нами понятию упругой среды при малых деформациях.

Тензор моделей упругости совпадает с коэффициентами и обладает теми же свойствами симметрии (217). Следовательно

и .

Это обстоятельство показывает, что в общем случае тензор содержит 21 независимый модуль упругости.

Помимо выяснения свойств симметрии тензора , рассмотрение деформирования с точки зрения термодинамики позволило наполнить физическим смыслом понятие упругости и определить границы применимости линейной упругой модели среды. Для наглядности представим процесс деформирования в координатах Закон Гука (203) или (198) гласит, что связь между и линейна в области малых деформаций и при . Применимость закона Гука может нарушаться по 2-м причинам: 1. Выход деформации за границы малости: . 2. Физическое отклонение вещества от упругого поведения.

Опыт показывает, что такое отклонение наступает для большинства веществ при . Величина называется пределом упругости.

Для большинства веществ , т.е. тела перестают быть упругими еще тогда, когда деформации малы, (т.е. типичной кривой является кривая 2). Исключения представляют тела типа резины.