7.2 Свойства упругих волн в анизотропной среде.
Введем волновое число
и подставим условие
,
где
--- единичный вектор направления
распространения волны, в (233):
Это уравнение называют иногда уравнением Грина-Кристоффеля.
Уравнение Грина Кристоффеля является уравнением третьей степени относительно величины . Его корни определяются модулями упругости, плотностью и направлением распространения волны и не зависят от (или ). Следовательно, в анизотропной среде, так же как и в изотропной, скорость объемных волн не зависит от частоты и явление дисперсии отсутствует.
Однако, в отличии от изотропного
случая, в анизотропной среде скорость
волны
,
вообще говоря, зависит от направления
ее распространения. Физически это
обстоятельство очевидно: механические
свойства анизотропной среды --- модули
упругости --- различны в различных
направлениях. Поэтому различны и скорости
упругих волн, определяемые этими
модулями.
Обозначим тензор
через
:
Тензор
называют тензором Грина-Кристоффеля.
Из свойств симметрии
следует, что тензор
--- симметричен.
В принятых обозначениях уравнение (232) можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные векторы тензора Грина-Кристффеля:
(234)
Собственные значения
являются в этом случае корнями уравнения
Гртга-Кристоффеля:
(235)
Из (??) известно, что в случае
симметричного тензора 2-го ранга это
уравнение имеет три вещественных корня.
Можно показать, что все корни уравнения
Грина-Кристоффеля --- положительны.
Известно также, что соответствующие
этим корням главные направления
--- взаимно ортогональны.
Эти обстоятельства означают, что в
анизотропной среде в каждом направлении
распространяются три
упругие волны, с тремя
,вообще говоря, различными скоростями.
Поляризованы эти волны
линейно в трех
взаимно ортогональных
направлениях.
Отметим, что в анизотропной среде в общем случае ни одно из направлений поляризации не совпадает с направлением распространения волны. Поэтому в анизотропной среде, вообще говоря, понятия продольной и поперечной волн теряют смысл.
В анизотропной среде, как отмечалось, фазовая скорость волны зависит от направления ее распространения. Это обстоятельство приводит к тому, что нормаль к фронту волны не совпадает с направлением распространения волны. Т.е. в анизотропной среде направление потока энергии --- направление вектора Умова --- отлично от направления распространения волны.
Иллюстрация этого представлена на рисунке. Для сравнения приведен изотропный случай.
--- направление распространения волны.
--- вектор Умова.
Резюме section 7.
1. В анизотропной среде в каждом направлении распространяются три упругих волны с, вообще говоря, различными скоростями. Эти волны линейно поляризованы в трех взаимно ортогональных направлениях.
2. Скорости распространения упругих волн в анизотропной среде зависят от направления их распространения.
3. Скорости объемных волн не зависят от частоты, т.е. в анизотропной среде (а, следовательно и в изотропной) объемные волны не испытывают дисперсии.
4. Направление потока энергии, определяемое нормалью к фронту волны, в анизлтропной среде не совпадает с направлением распространения волны.