0.1 Максимальные нормальные напряжения.

Найдем площадку , на которой нормальные напряжения максимальны. Для этого нужно решить задачу:

--- max по

при условии

Для решения этой задачи на отыскание экстремумов используем множители Лагранжа.

Составим функцию

Условием экстремума являются условия:

а соответствующие значения равны экстремальным значениям . Найдем :

Следовательно, условия экстремума имеют вид:

Это выражение совпадает с (152), определяющим главные направления и главные значения . Это означает, что нормальные напряжения достигают своих максимальных значений на главных площадках. Следовательно, главные значения тензора напряжений являются максимальными значениями нормальных напряжений в этой точке.

0.2 Шаровой тензор и девиатор напряжений.

Из общей теории известно (??), что если , то напряженное состояние не имеет симметрии. Если , то распределение напряжений симметрично относительно первого главного направления. Наконец, если , то напряжения по всем площадкам (по всем направлениям) одинаковы. Причем, в последнем случае касательные напряжения по всем направлениям равны нулю, поскольку все направления --- главные. Такая ситуация называется всесторонним сжатием. В случае всестороннего сжатия величина называется давлением, и тензор напряжений имеет вид:

Во многих случаях бывает удобно выделить всестороннее сжатие из произвольного напряженного состояния среды. В таких случаях тензор напряжений представляют в виде суммы:

(123)

где и ;

Тензор называется шаровым, а --- девиатором напряжений (ср. (??)).

Резюме

1 4

.

1. Главные направления тензора гнапряжений определяют главные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю--- вектор напряжений направлен по нормали.

2. Главные значения тензора напряжений равны норамльным напряжениям на главных площадках.

3. Главные значения тензора напряжений являются максимальными значениями нормальных напряжений в данной точке среды.

4. Приведение тензора напряжений к каноническому виду эквивалентно представлению усилия по произвольной площадке в виде суперпозиции нормальных усилий по трем взаимно-ортогональным главным площадкам.

5. Из картины напряженного состояния среды можно выделить часть, отвечающую всестороннему сжатию, описав ее шаровым тензором. Оставшиеся напряжения описываются девиатором напряжений.

2 Особенные напряжения.

.

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые особенные напряжения, играющие существенную роль в приложениях МСС.

2.1 Максимальные касательные напряжения.

В предыдущем параграфе мы видели, что касательные напряжения достигают своего минимума на главных площадках (на них ). На каких площадках касательные напряжения максимальны (по абсолютной величине)? Ответ на этот вопрос имеет существенное значение в приложениях МСС к вопросам разрушения и прочности среды.

Выберем в качестве системы координат главные оси. Главные значения тензора напряжений будем обозначать как . В этом случае выражение (216) имеет вид:

(124)

а

Следовательно, касательные напряжения на площадке выражаются следующим образом:

(125)

Требуется найти max (223) при условии

Используя метод множителей Лагранжа, составим функцию

Приравняв нулю ее производные по , получим систему уравнений для определения и :

1 [n_2^2(_1-_2)^2 + n_3^2(_3-_1)^2 - ] = 0

n_2 [n_3^2(_2-_3)^2 + n_1^2(_1-_2)^2 - ] = 0

n_3 [n_1^2(_3-_1)^2 + n_2^2(_2-_3)^2 - = 0

n_1^2+n_2^2+n_3^2=1

Решения системы (224) сведены в таблицу:

Пятый столбец таблицы получен подстановкой в (223). Первые строки таблицы определяют главные площадки, на которых касательные напряжения минимальны (по абсолютный величине). Строки 46 определяют направления искомых площадок с максимальными значениями . Эти площадки проходят через одну из главных осей и ориентированы под 45_ к двум другим главным осям. (см. рис.).

Напряжения , , иногда называют главными касательными напряжениями. Нормальные напряжения на главных касательных площадках нулю не равны. Их легко рассчитать, подставив из таблицы в (5.1):

(126)

Если считать, что , то

Проиллюстрируем выше сказанное на примере однородного одноосного растяжения.

К площадкам (1,0,0) и (-1,0,0) приложено усилие . В этом случае:

Максимальное касательное напряжение имеет место на площадке . Его величина равна:

Нормальное напряжение на этой площадке равно:

а полное усилие:

Площадь площадки в раз больше площади площадок (1,0,0) и (-1,0,0), усилие на которых равно .