7.4 Потенциальная энергия упругой деформации.

Потенциальная энергия деформированного тела равна работе объемных сил и усилий на поверхности тела, затраченной на создание деформации. Найдем работу на единицу объема объемных сил и поверхностных усилий на смещении . Очевидно:

Используя условия равновесия (??) и (??), это выражение можно переписать:

Второй интеграл преобразуем к интегралу по объему:

Следовательно, для имеем:

что, конечно, соответствует (213), поскольку работа внешних сил и усилий по изменению тензора деформаций на равна по абсолютной величине и противоположна по знаку соответствующей работе внутренних напряжений.

Предполагая, как и прежде, что деформация происходит без изменения температуры, замечаем, что

что тоже вполне естественно.

Определим потенциальную энергию деформации (на единицу объема) при деформировании среды от 0 до :

В случае упругой среды свободная энергия среды выражается (216). Поэтому, для потенциальной энергии упругой среды имеем:

или с учетом закона Гука:

(145)

Потенциальную энергию упругой деформации называют иногда упругим потенциалом.

Заметим, что упругий потенциал совпадает со свободной упругой энергией при постоянной температуре. Действительно, согласно (216)

(146)

Резюме

8 Упругость с точки зрения термодинамики

1) Под свойством упругости понимается взаимно-однозначная связь деформаций и напряжений, т.е. возвращение тела в исходное состояние при снятии нагрузки, вызывавшей деформацию. При этом подразумевается, что деформация является малой.

2) Задание свободной энергии для упругой деформации эквивалентно заданию определяющих соотношений для упругого тела. Для упругой среды свободная энергия представляет собой положительно определенную квадратичную форму по . Определяющие соотношения для заданной таким образом упругой среды совпадают с обобщенным законом Гука.

3) Область применимости обобщенного закона Гука ограничивается требованиями упругости и малости деформации.

4) Энергия упругой деформации на единицу объема определяется сверткой тензора напряжений и деформаций по обоим индексам.

9 Закон Гука для однородной и изотропной среды.

9.1 Однородность и изотропность.

Рассмотрим упругую среду, обладающую особыми свойствами --- однородностью и изотропностью. Первое из них означает, что механические свойства среды одинаковы во всех ее точках, второе --- что в любой точке среды ее свойства одинаковы во всех направлениях. Ясно, что однородность и изотропность упругой среды накладывают определенные условия на модули упругости.

Тензор модулей упругости в общем случае является функцией координат, а в каждой точке его компоненты зависят от ориентации координатных осей.

Однородность среды означает, что во всех точках модули упругости одинаковы, т.е. Это, однако, не означает, что компоненты не будут изменяться при изменении системы координат. Пр повороте осей будут преобразовываться как компоненты тензора, но в силу однородности среды --- одинаковым образом во всех точках.

Независимость компонент тензора модулей упругости от направления осей координат обеспечивает изотропность среды. Действительно, координатные оси определяют выбор направления, в которых рассматривается связь напряжений и деформаций, поскольку компоненты тензора напряжений --- суть проекции напряжений на соответствующие оси координат. В изотропной среде упругие свойства во всех направлениях одинаковы, и, следовательно, во всех направлекниях одинакова связь между напряжениями и деформациями. Поэтому в изотропной среде модули упругости не зависят от ориентации осей координат и компоненты тензора являются инвариантами.

В выражении закона Гука

в случае однородной и изотропной среды тензоры и , вообще говоря, изменяются в пространстве и зависят от ориентации системы координат (напряжения и деформации --- неоднородны). А тензор как мы видели состоит из констант и инвариантен к изменению системы координат. Это обстоятельство дает основание полагать, что некоторые из 21 компоненты зависимы между собой или равны нулю. Найдем для однородной изотропной среды, определив тем самым для нее форму закона Гука.