Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
_Elastic.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
4.81 Mб
Скачать

3 Напряжения.

В результате деформации в среде возникают силы, стремящиеся вернуть ее в исходное, недеформированное, состояние. Такое состояние среды называется напряженным состоянием.

Целью настоящей главы является разработка математического аппарата, позволяющего описывать напряженное состояние сплошной среды. Так же, как и в случае деформаций, мы должны ввести такой математический объект, который характеризовал бы напряженное состояние среды в каждой ее точке.

1 Тензор напряжений.

1.1 Сплошность среды и принцип Коши.

Рассмотрим природу сил, возникающих в результате деформации тела. До деформации молекулы находились в состоянии теплового равновесия. Деформация нарушает это состояние, поскольку при деформации изменяется взаимное расположение молекул. В теле возникают силы, стремящиеся вернуть его в равновесное состояние. Эти силы называются внутренними напряжениями.

Силы, возникающие при деформации, по своей природе --- есть силы взаимодействия между молекулами тела. Радиус их действия имеет порядок расстояния между молекулами и по порядку величины составляет

Mеханика сплошной среды является макроскопической теорией (что подчеркивается самим ее названием). Рассмотрение вещества как сплошной среды подразумевает абстрагирование от макроструктуры вещества. В рамках МСС рассмотрению подлежат только такие "элементы", размер которых значительно превосходит масштаб микроструктуры вещества и, следовательно, радиус межмолекулярного взаимодействия:

(101)

Априорное условие (202) можно назвать постулатом сплошности. Как следствие постулата сплошности, точкой сплошной среды следует считать минимальную область среды, размер которой удовлетворяет (202). Если при этом, характерный размер задачи (например размер тела) много больше размера точки :

то описание сплошной среды можно осуществить дифференциально.

Постулат сплошности (202) означает, что возникающие при деформации внутренние силы в рамках МСС действуют только на непосредственно близлежащие точки среды. Т.е. в масштабах описания сплошной среды радиус действия внутренних сил равен нулю. Отсюда следует, что силы, оказываемые на какую-либо часть тела со стороны окружающих ее частей, действуют только непосредственно через поверхность этой части. Поэтому внутренние силы, возникающие при деформации, называют поверхностными.

Это означает, что дествие одной части деформированного тела (части А) на другую его часть (часть В) эквивалентно приложению к каждой точке поверхности, отделяющей одну часть от другой (А от В) определенной силы.

Поверхностный характер внутренних сил находит свое математическое выражение в принципе Коши. Согласно этому принципу существует конечный предел отношения внутренних сил, приложенных к площадке, при стягивании этой площадки в точку:

(102)

Этот предел называют вектором напряжений и обозначают , где индекс определяется внешней нормалью к выбранной площадке.

Принцип Коши означает, что описание напряженного состояния среды заключается в том, что каждому элементу поверхности ставится в соответствие определенный вектор напряжений, имеющий смысл усилия (силы, действующей на единицу поверхности).

Поверхность задается вектором нормали к ней. Поэтому описание напряженного состояния сводится к заданию в каждой точке среды вектора как функции вектора ,т.е. к определению некоторой векторной функции. В главе 1 мы видели, что такая функция полностью определяется заданием соответствующего тензора второго ранга. Таким образом из принципа Коши следует, что для описания напряженного состояния среды необходимо ввести тензор второго ранга.

Замечание. Помимо поверхностных сил на точки тела могут, конечно , действовать и "обычные" внешние силы недеформационной природы: сила тяжести, сила инерции, магнитные силы и т.д. Эти силы, в отличии от поверхностных, действуют непосредственно на каждую точку данного объема среды --- на единицу массы --- и называютcя, поэтому, объемными, или массовыми силами.

Объемные силы не дают непосредственного вклада в вектор напряжений. Действительно, для объемных сил справедливо, очевидно;

Подставим это в принцип Коши:

Это означает, что объемные и поверхностные силы следует рассматривать как различные, независимые силы, действующие на элемент среды. Их взаимосвязь определяется только уравнениями равновесия (см. ?2).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]