2.4 Плоские монохроматические волны.
Плоская волна имеет вид:
Монохроматическая волна -:
Плоская монохроматическая волна имеет, следовательно, вид:
или
где
---волновой вектор
Замечание. В достаточно
малой области пространства любую волну
можно считать плоской монохроматической.
Произвольная волна имеет вид:
При этом предполагается, что функция меняется в пространстве значительно медленнее, чем , т.е. F имеет смысл амплитуды волны.
Не нарушая общности, рассмотрим
малую окрестность точки
.
В силу малости этой окрестности функцию
F в ней можно считать постоянной:
.
Изменение
в рассматриваемой окрестности можно
представить, разложив ее в ряд и сохранив
только линейные члены:
Вводя обозначения:
,
,
,
находим для
:
Тем самым произвольная волна
в малой области пространства представлена
в виде плоской монохроматической волны
с частотой
.
Резюме section 2. 1. Свободные волны (решения однородного волнового уравнения) можно представить в виде монохроматических, сферических, плоских волн или их комбинаций. 2. Коэффициент при лапласиане в волновом уравнении имеет смысл квадрата фазовой скорости волны, т.е. скорости перемещения в пространстве выбранной фазы колебаний в волне. 3. На удалениях от источника, больших чем длина волны, сферическую волну в области пространства размером порядка длины волны можно считать плоской. 4. В достаточно малой области пространства любую волну можно считать плоской монохроматической.
3 Скорости упругих волн.
3.1 Prima и secunda (Manchester, 1911).
Фазовые скорости упругих
волн, обозначенные нами как
и
,
имеют значения:
(214)
(215)
Из этих соотношений, в силу
положительности параметров Ламе,
следует, что всегда
.
Поэтому на записи смещений на определенном
расстоянии от источника волна
вступает раньше волны
.
Отсюда и берут свое начало принятые
обозначения:
p --- prima --- первая
s --- secunda --- вторая.
Отношение скоростей
можно выразить через коэффициент
Пуассона, используя соотношения между
упругими модулями (??)
Поскольку
,
.
В случае справедливости гипотезы
Пуассона (??), при
,
или
:
Замечание. Зависимость отношения от позволяет экспериментально определять коэффициент Пуассона для различных сред на основании измерения скоростей упругих волн в этих телах.
Точно так же, выражения (215) дают возможность определять упругие модули среды со скоростями упругих волн (если известна плотность).
Методы определения упругих параметров среды, основанные на измерениях скоростей упругих волн являются одними из наиболее точных методов.
3.2 Общий принцип отыскания скоростей волн в сплошной среде.
В (??) мы показали, что в однородно изотропной упругой среде могут распространяться волны двух типов, со скоростями и . Покажем, что никаких других объемных волн не существует. Для этого применим общий принцип отыскания возможных скоростей волн в сплошной среде. Этот принцип заключается в подстановке в уравнение движения волнового уравнения и получении на основании этого уравнения для допустимых значений скоростей возможных в среде волн.
Подставим в уравнение Ламе (??) решение в виде плоской монохроматической волны:
Учитывая, что в этом случае:
,
,
найдем:
Учитывая, что
и
систему алгебраических уравнений
относительно
можно переписать следующим образом:
(216)
Для того, чтобы система (216) была бы нетривиально совместима, необходимо, чтобы ее определитель был бы равен нулю:
(217)
Корни уравнения (217)
определяют допустимые значения скоростей
упругих волн в однородной изотропной
упругой среде.
Раскрывая определитель
(217), получим для
уравнение:
Отсюда следует, что
(218)
(219)
Таким образом, в однородной изотропной упругой среде могут существовать объемные волны только указанных в subsection1 типов.
Возвращающая упругая сила является силой сопротивления материала изменению объема в волнах и силой сопротивления изменению формы в волне , а скорости упругих волн определяются соответствующими модулями, характеризующими количественно две указанные силы сопротивления (возвращающие силы).
Резюме subsection 3.
1. В однородной изотропной сплошной среде существуют объемные волны только двух типов --- волны изменения объема и формы.
2. Эти волны обозначаются буквами и в соответствии с величинами их скоростей. Всегда
3. Отношение скоростей волн и определяется величиной коэффициента Пуассона.