Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
_Elastic.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
4.81 Mб
Скачать

3.2 Нормальные напряжения.

Согласно (215):

Используя формулу Коши, найдем, что

(116)

Величина нормального напряжения на площадке заданного направления является билинейной формой компонент нормали . Заметим, что выражение (216) аналогично (??), выражающему деформацию отрезка в заданном направлении. Рассуждая также, как в

3.3 2

4 4

4 2

, можно использовать (216) для наглядной иллюстрации тензора природы , направляя ось новой системы координат вдоль и рассматривая (216) как закон преобразования от старой системы координат к новой, легко обнаружить, что отвечает определению тензора (??).

Отметим, что условие определяет тензорную поверхность тензора напряжений.

0.1 Касательные напряжения.

Из (215) следует, что

Выражая через --- согласно формуле Коши, легко найти для :

(117)

Резюме

1 3

1. Вектор напряжений на каждой площадке можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, называемые нормальными и касательными напряжениями на этой площадке.

2. Нормальное напряжение представляет собой билинейную форму от компонент вектора нормали площадки. Коэффициентами этой формы являются компоненты тензора напряжений.

2 Главные направления, главные значения, инварианты тензора напряжений.

Тензор напряжений, являясь симметричным тензором 2---го ранга, может быть приведен к каноническому виду. Рассмотрим вопросы, связанные с этой процедурой.

2.1 Приведение тензора напряжений к каноническому виду.

Пусть в некоторой точке среды задан тензор напряжений . Найдем такие площадки , на которых в этой точке вектор напряжений имеет только нормальную составляющую (т.е. на которых ).

Согласно (215) на таких площадках:

что с учетом формулы Коши дает

или

(118)

Выражение (152) определяет систему уравнений для нахождения главных напряжений и соответствующих главных значений (см.

3 4

5 1

. Площадки, задаваемые векторами называются главными площадками. Главные значения тензора напряжений являются решениями векового уравнения:

(119)

Как известно, (170) имеет три вещественных решения . Обычно нумеруют таким образом, что:

Главные значения тензора напряжений называют также главными напряжениями.

Главные направления определяют площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные --- главным значениям .

В главных осях, совпадающих с , тензор напряжений имеет вид:

Согласно формуле Коши в главных осях вектор напряжений на площадке с произвольным направлением имеет компоненты:

(120)

Это означает, что процедура приведения тензора напряжений к каноническому виду в физическом отношении эквивалентна представлению усилия в данной точке среды по произвольной площадке (вектора ) как суперпозиции нормальных усилий в этой точке по трем взаимноортогональным направлениям.

Инварианты тензора имеют вид:

(121)

Если в некоторой системе координат известны главные направления и главные значения тензора напряжений, то в ней можно легко найти компоненты тензора напряжений (см. выражение (??)):

(122)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]