6.2 Законотражения и преломления.

Решениями волновых уравнений для падающей, отраженной и преломленной волн являются плоские монохроматические волны вида:

Принципиальным является то обстоятельство, что все три волны будут иметь одинаковые частоты и компоненты волнового вектора и .

Действительно, монохроматическая плоская волна с постоянными в пространстве и , очевидно, удовлетворяет волновому уравнению в однородной неограниченной среде. Наличие границы добавляет к этому уравнению лишь граничные условия, относящиеся к плоскости . Эти условия не зависят ни от , ни от и . Поэтому зависимость решения волновых уравнений при наличии границы от , и точно такая же, как и в случае однородной среды. А это и означает, что и одинаковы в падающей, отраженной и преломленной волнах.

Используя это обстоятельство, легко получить соотношения, определяющие направления распространения отраженной и преломленной волн.

1. Направим ось по нормали к плоскости, в которой падает волна. Тогда Тоже самое должно быть и для отраженной и преломленной волн.

Следовательно, падающая, отраженная и преломленная волны лежат в одной плоскости.

2. Из условия:

Найдем соотноешние между углами падения, отражения и преломления:

(229)

(230)

(231)

Следовательно: и

Последнее выражение называется законом Снеллиуса.

Замечание. Законы отражения и преломления упругих волн можно получить подставив формально решения волновых уравнений в виде плоских монохроматических волн в средах 1 и 2 в граничные условия.

6.3 Отражение и преломление упругих волн.

В случае падения на границу раздела упругих волн определенного типа ( и ), отраженные и преломленные волны могут быть, вообще говоря, обоих типов. Т.е. при падении волны и и наоборот.

Исключение составляет волна . Из соображений симметрии следует, что отраженная и преломленная волны будут в этом случае тоже .

Закон Снеллиуса в случае упругих волн имеет вид:

где и --- соответственно угол падения (отражения, преломления) и скорость волны определенного типа. Например:

Резюме section 6.

1. При падении упругих волн (или ) на границу между двумя упругими средами образуются отраженные и преломленные волны обоих типов --- как , так и (как , так и ). Возникающие таким образом волны другого типа называются обменными.

Падение волны не вызывает образования обменных волн.

2. Углы падения, отражения и преломления обменных волн таковы, что отношение синуса к скорости волны есть величина постоянная.

7 Упругие волны в анизотропной однородной среды.

7.1 Уравнение дисперсии.

Для выяснения вопроса о свойствах упругих волн в анизотропной среде используем принцип анализа уравнения движения (??)

Подставим решение в виде плоской монохроматической волны:

в уравнение движения (??):

Учитывая, что Или:

(232)

Однородная система уравнений (232) нетривиально разрешима относительно , если ее определитель равен нулю:

(233)

Корни этого уравнения определяют зависимость . Такая зависимость называется дисперсией, поэтому уравнение (233) называют также дисперсионным.

Подставляя решения (233) в (232), можно найти соответствующие этим решениям (ветвям дисперсии) направления вектора , т.е. определить поляризацию соответствующих упругих волн. В случае изотропной среды из уравнения (217), являющегося аналогом (233), были найдены зависимости и , т.е. определены возможные скорости упругих волн. Подстановка этих значений в (216) --- аналог (232) --- позволила определить поляризацию этих волн. Заметим, что в изотропной среде скорости волн не зависят от (или ), что свидетельствует об отсутствии дисперсии объемных волн в однородной изотропной упругой среде.