1.2 Тензор напряжений.

Рассмотрим среду в напряженном состоянии в отсутствии объемных сил. Выделим из нее мысленно элемент объемом и рассмотрим действующую на него суммарную силу . С одной стороны, эта сила может быть формально представлена как:

С другой стороны, сила представляет собой равнодействующую сил, действующих на выделенный объем со стороны окружающих его частей среды.

Согласно принципу Коши, эти силы являются поверхностными, т.е. действуют на выделенный объем только по его поверхности. Поэтому их равнодействующая действующих на каждый элемент поверхности объема ,т.е. в виде некоторого интеграла по поверхности выделенного элемента объема.

Согласно теореме о дивергенции (глава 1) объемный интеграл от некоторого вектора может быть преобразован в интеграл по поверхности, если этот вектор является дивергенцией некоторого тензора 2 --- го ранга:

Тогда:

(103)

где , --- внещняя нормаль к поверхности элемента объема V.

Введенный таким образом тензор называется тензором напряжений.

Из определения тензора напряжений (205) следует, что j n Сопоставляя это с (205) находим:

Учитывая теперь, что , получим фундаментальное соотношение, известное как формула Коши:

(104)

Формула Коши определяет векторную функцию от , т.е. позволяет для любой точки среды и любой наперед заданной элементарной площадки, проходящей через эту точку, рассчитывать вектор напряжений, если в рассматриваемой точке известен тензор напряжений Таким образом формула Коши свидетельствует о том, что введенный нами танзор напряжений полностью характеризует напряженное состояние среды.

Отметим, что формула Коши лишний раз свидетельствует о тензорной природе , поскольку и --- векторы, --- согласно теореме деления --- тензор 2---го ранга.

о знаке силы . В выражении (205) интеграл по поверхности представляет силу, действующую на ограниченный этой поверхностью объем со стороны окружающих его частей среды. Сила, с которой этот объем действует на окружающую его среду, имеет обратный знак, поскольку в силу третьего закона Ньютона

Это следует и из формулы Коши. Величина этой силы определяется выражением , где и ---по-прежнему, внешняя нормаль к поверхности выделенного элемента v .

1.3 Физический смысл компонент тензора напряжений.

Для выяснения физического смысла компоннет тензора напряжений воспользуемся формулой Коши. Выберем площадку ортогональной оси координат : . В этом случае, согласно формуле Коши, вектор напряжений на этой площадке имеет компоненты

или

Аналогично и для двух других площадок.

Таким образом, компоненты тензора напряжений --- суть ---я компонента вектора напряжений, действующего на площадке, нормальной к ---й оси (на ---й площадке). Компоненты тензора напряжений имеют, следовательно, размерность усилия или давления: .

Компоненты вектора напряжений, действующих на площадках элемента среды кубической формы, можно проиллюстрировать рисунком: --- индекс площадки

---индекс направления действия силы (индекс проекции).

Напряжения называют нормальными, а и т.д. --- , (или скалывающими) компонентами тензора напряжений.