2 Решения волнового уравнения.

Уравнения (202) --- (203), (206) --- (207), (211) --- (212) имеют (в случае отсутствия массовых сил) вид:

(213)

Напомним основные свойства решений однородного волнового уравнения (213).

2.1 Монохроматические волны.

Функцию можно при решении (213) представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от пространственных координат, а вторая --- только от времени (метод разделения переменных). Временную часть решения (213) можно разложить на сумму монохроматических составляющих (представление Фурье). Поэтому монохроматические волны имеют важное значение в теории волновых уравнений.

Монохроматическая волна имеет вид:

Подставляя это выражение в (213), получим уравнение для :

где называют волновым числом. Уравнение для называют уравнением Гельмгольца.

2.2 Сферические волны.

Из соображений изотропности пространства решения (213) можно искать в виде:

где , --- расстояние от начала отсчета до рассматриваемой точки среды. Начало отсчета в таком случае естественно совместить с источником волн.

Используя представление оператора Лапласа в сферических координатах, легко показать, что уравнение (213) в случае радиальной зависимости имеет вид:

Ниже будет показано, что уравнения такого вида имеют решения:

где и --- произвольные функции.

Первое слагаемое описывает расходящуюся из начала координат волну, второе --- сходящуюся. Множитель называют геометрическим расхождением. Он обусловлен тем обстоятельством, что с увеличением увеличивается поверхность, окружающая вовлеченный в движение объем среды. Но полный поток энергии, несомый волной, через такую поверхность должен оставаться неизменным, поэтому увеличение поверхности должно компенсироваться уменьшением амплитуды колебаний в волне с ростом . Поскольку поверхность , а поток энергии , ( (??) должно быть .

2.3 Плоские волны.

При достаточно больших значениях небольшие участки сферы (фронта сферической волны) можно считать плоским. Выбирая в качестве пространственного масштаба волны ее длину , легко показать, что участок сферы размером можно считать плоскостью при .

Сферическую поверхность можно, очевидно, заменить плоскостью, если . Из рисунка: и .

Следовательно:

Из условия находим, что , т.е. .

Направим ось вдоль нормали к плоскости фронта волны. Тогда смещения в волне в плоскости будут однородны и, следовательно, уравнение (213) примет вид:

Волны, удовлетворяющие этому уравнению, называются плоскими, (фронт этих волн представляет собой плоскость, в данном случае --- плоскость ).

Вводя новые переменные

и ,

Уравнение () можно привести к виду:

Его решение имеет, очевидно, вид:

где и --- произвольные функции.

Следовательно, решение волнового уравнения (213) в виде плоких волн имеет вид:

Выясним смысл этого решения. Рассмотрим для определенности функцию . В каждой плоскости меняется во времени, в каждый момент времени различна для различных . Очевидно, что одинакова для таких и , что

Величина называется фазой волны. Если в момент времени имеет некоторое определенное значение в точке , то такое тже значение будет иметь через время в точке . Следовательно, можно сказать, что распространяется вдоль оси со скоростью . Поэтому говорят, что описывает бегущую простую волну, распространяющуюся в направлении возрастания с фазовой скоростью . Выражение описывает волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

Из условия следует, что . Следовательно, --- скорость распространения выбранной фазы волны. Поэтому называют фазовой скоростью.

В том случае, когда оси координат не совпадают с направлением распространения волны, плоская волна имеет вид:

где --- единичный вектор направления распространения волны.

Рассмотрим фронт плоской волны в момент времени . Очевидно, что фаза волны равна |OA| r n Следовательно, фаза волны

и функция имеет указанный выше вид.