5 Обобщенный закон Гука.

5.1 ceiiinosssttuv (1676г.)

В 1676 году в конце работы о гелиоскопе Роберт Гук написал: " Чтобы заполнить свободное место на этой странице, я добавил здесь десятую часть изобретений, которые намерен опубликовать ". В его списке из девати наименований третьим было:

"3. Точная теория упругости или пружинности и подробное толкование ее для некоторых объектов, которые могут ей следовать, а также способ вычисления скорости тел, движимых ею ceiiinossstuv".

Через два года, в 1678г. в своей, ставшей теперь знаменитой , книге "О восстановительной способности или об упругости" анаграмма ceiiinossstuv была расшифрована : uttensiosicvis ---" каково натяжение --- такова сила". Тем самым была заложена основа теории упругости.

Любопытно отметить, что в 1678г., раскрывая смысл анаграммы, Гук написал, что он впервые открыл закон, носящий теперь его имя , в 1660 г. Однако от его публикации он воздержался, движимый стремлением защитить свое изобретение спиральных часовых пружин. Для их конструирования он использовал свой принцип.

Закон Гука в своей первоначальной трактовке связывал продольное растяжение струны с нормальной одноосной нагрузкой линейным образом.

В современных обозначениях (после нормировки на площадь сечения и длину струны) закон Гука можно записать, как:

(131)

где (не зависит от и ).

Дальнейшее развитие естествознания подтвердило, что закон, экспериментально открытый Гуком, хорошо описывает реальные тела при достаточно малых деформациях. Это обстоятельство послужило веским аргументом для того, чтобы законь Гука был положен в основу определяющих соотношений (упругой модели среды).

5.2 Обобщенный закон Гука.

Очевидно, что (202) не полностью характеризует связь напряжений и деформаций. Действительно, (202) определяет связь только для деформаций растяжения --- сжатия и нормальных напряжений и совершенно не затрагивает сдвиговые деформации и касательные напряжения. Кроме того, выражение (202) в своем исходном виде справедливо только для однородного напряженно---деформированного состояния, а в общем случае тензоры напряжений и деформаций зависят от координат.

Главным в законе, сформулированном Гуком, является постулирование линейности связи между напряжениями и деформациями. Поэтому естественным обощением закона Гука является распространение линейности связи напряжений и деформаций на случай произвольного напряженно---деформированного состояния среды в каждой ее точке. Обощенный закон Гука был предложен Коши в 1822 г.: Компоненты напряженимй в данной точке тела --- суть линейные и однородные функции компонент деформаций в той же точке (и обратно).

В наших обозначениях обобщенный закон Гука записывается следующим образом:

(132)

Коэффициенты называются модулями упругости. Они не зависят от и , но в общем случае являются функциями координат и термодинамических условий. Из (203) следует, что --- тензор четвертого ранга (согласно теореме деления). Это означает, что модули упругости в общем случае зависят от направления осей координат, т.е. упругие свойства могут быть различными в различных направлениях.

Тензор , заданный в трехмерном пространстве имеет, очевидно, компоненту. Однако, симметрия тензоров деформаций и напряжений снижает это количество до 36. Действительно, в силу указанной симметрии:

С учетом этого обстоятельства для модулей упругости иногда используют другие обозначения:

(133)

где и таковы, что и :

(134)

В ??, исходя из термодинамических соображений, будет показано, что

или

Следовательно, в общем случае, тензор модулей упругости содержит 21 независимый элемент.

Резюме section 1

На основании обощения эмпирических данных свойство упругости выражается как линейность и однородность связи напряжений и деформаций тела. Определяющие соотношения для упругой модели являются обощенным законом Гука, связывающим линейными однородными функциями компоненты напряжений и деформаций.