6 Уравнение движения упругой среды.

1 Уравнение движения.

Рассмотрим элемент среды объема , выделенный внутри деформированного тела.На этот элемент действунт поверхностная сила с плотностью и массовая сила с плотностью (??) . Равнодействующая этих сил равна

При рассмотрении динамики сплошной среды эту равнодействующую согласно 2-му закону Ньютона следует приравнять изменению суммарного импульса частиц, составляющих рассматриваемый объем

где --- смещения частиц среды.

В соответствии с Лагранжевым подходом к описанию движения сплошной среды все величины относятся к выбранным частицам среды. Поэтому величина не зависит от времени и, следовательно, дифференцирование по времени распространяется только на величину . Поэтому имеем:

В силу произвольности выбранного элемента объема получаем отсюда уравнение движения сплошной среды:

(188)

Или, в сжатой форме:

(189)

Подчеркнем, что уравнение движения (189) справедливо для любой сплошной среды (с любыми механическими свойствами).

Резюме

2 Уравнение движения.

Уравнение движения сплошной среды имеет вид (202)

3 Уравнения движения упругой среды.

Учтем в уравнении движения сплошной среды (202) свойство упругости. Рассмотрим случай однородной анизотропной и однородной изотропной сред.

3.1 Уравнение движения однородной анизотропной упругой среды.

В уравнение движения (202) входят как напряжения, так и смещения. Приведем (202) к уравнению для смещений, воспользовавшись законом Гука, считая, что модули упругости не зависят от координат. Найдем :

Учитывая свойства симметрии тензора модулей упругости (??) для имеем:

_ij,j=E_ijklu_k,lj

Уравнение движения однородной упругой среды в таком случае имеет вид:

(190)

3.2 Уравнения движения однородной изотропной упругой среды.

Подставим в уравнение движения (202) закон Гука в однопродной изотропной среде (??). Найдем для этого :

Уравнение движения однородной изотропной упругой среды, таким образом, имеет вид:

(191)

Выражение (191) представляет собой систему 3-х дифференциальных уравнений относительно смещений . Эта система называется уравнениями Ламе.

Уравнения Ламе можно переписать в векторной форме, используя векторные дифференциальные операторы (??):

(192)

Или учитывая операторное тождество:

(193)

Замечание. Если в сплошной среде происходит движение, то ее температура вообще говоря не остается постоянной, а изменяется вследствие деформации среды. Причем изменения температуры различны (вместе с деформацией) во времени и пространстве. Изменение температуры, как мы видели в (??) вызывают дополнительные деформации, а в случае неоднородного нагревания --- дополнительные напряжения. Поэтому с учетом температурных возмущений уравнение движения примет более сложный вид:

Это уравнение следует решать совместно с уравнением теплопроводности:

где --- коэффициент теплопроводности, --- удельная (массовая) теплоемкость вещества.

Однако, обычно при рассмотрении динамических задач теории упругости температурные возмущения можно рассматривать как адиабатические. Это обстоятельство является следствием того, что передача тепла от одной точки тела к другой за счет теплопроводности происходит очень медленно по сравнению с изменением деформации в пространстве. Поэтому, при описании динамических процессов в однородной изотропной упругой среде можно пользоваться уравнением (191), считая входящие в него модули упругости адиабатическими.