6 Соотношения Сен-Венана (условия совместимости деформаций.

До сих пор мы рассматривали деформацию среды в отдельно взятой точке. Рассмотрим теперь вопрос о свяности деформации в пространстве.

Выпишем определение деформаций (211) в развернутой форме:

ll _11=u_1,1 _12= 12(u_1,2+u_2,1)

_22=u_2,2 _13= 1sqrt2(u_1,3+u_3,1)

_33= _23= 1sqrt2(u_2,3+u_3,2)

При заданных непрерывных функциях (227) можно рассматривать как систему 6-ти дифференциальных уравнений относительно 3-х функций . Эту систему называют уравнениями Коши.

Поскольку неизвестных функций ---3, а уравнений --- 6, система (227) --- переопределена. А это означает, что 6 компонент тензора деформаций не являются независимыми. Для того, чтобы система (227) была бы совместима, они должны быть связаны определенными соотношениями и не могут быть заданы независимо друг от друга.

Найдем эти соотношения.

6.1 Зависимости деформаций водной плоскости.

Продифференцируем первые два уравнения Коши (227) и сложим их:

Или:

(95)

6.2 Зависимости компонент деформации в разных плоскостях.

Составим производные:

(96)

(97)

(98)

Вычтем из суммы первых двух выражений третье:

Дифференцируя это по , найдем, что:

Следовательно:

(99)

Аналогичные соотношения получим для других компонент. Они также получаются из (184) при циклической замене индексов.

Соотношение (184) означает, что задание изменения при деформации углов в трех плоскостях полностью определяет относительное удлинение. Действительно, интегрируя (184), получим:

(100)

Шесть соотношений типа (183 и (184)) были выведены в 1861г. Сен-Вененом и носят его имя.

6.3 Соотношения Сен-Венена и непрерывность среды.

Разобьем мысленно диформируемое тело на бесконечно малые элементы, например, кубики. Если мы подвергнем каждый кубик произвольной деформации с заданными компонентами и , затем, попытаемся сложить вновь получившиеся малые параллелипипеды так, чтобы точки их граней, соприкасавшиеся до деформации, снова соприкасались, то это окажется, вообще говоря, невозможным. При попытке сложить отдельные элементы между некоторыми из них образыются зазоры, или грани элементов, которые должны совпасть, окажутся сдвинутыми друг относительно друга, или, наконец, для некоторых элементов не окажется достаточно места.

Это означает, что для того, чтобы сплошноять среды при деформации не нарушалась таким вот образом, компоненты деформации для каждой точки среды (для каждого кубика) не могут быть независимыми. Они должны удовлетворять некоторым соотношениям. Этими соотношениями и являются соотношения Сен-Венана. Поэтому их называют условиями совместимости деформаций или условиями неразрывности.

Условия совместимости следует учитывать при отыскании смещений по заданным нагрузкам на поверхности тела. Если при этом смещения находятся непосредственно из распределения нагрузок, то условия совместимости выполняются автоматически, как следствия (227).

Если же по нагрузкам рассчитываются напряжения в теле, затем деформации и уже потом смещения, то условия совместимости следует удовлетворить при отыскании деформаций, поскольку они являются по сути дела условиями интегрируемости системы уравнений Коши (227).

Резюме section 6.

В случае неоднородной деформации ее компоненты связаны определенными соотношениями и не могут быть заданы произвольным образом.

1.Задание относительных удлинений в некоторой плоскости определяет изменение углов вэтой плоскости.

2. Задание изменений углов в трех плоскостях полностью определяет относительные удлинения.

3. Указанные условия совместимости деформаций представляют собой условия неразрывности среды при деформации.

Заключение главы 11.

Рассмотрение деформации сплошной среды как изменения взаимного расположения точек среды в математическом отношении приводит к введению тензора второго ранга. Этот тензор полностью характеризует деформацию в бесконечно малой окрестности каждой точки среды и называется тензором деформации. По определению, тензор деформации является симметричным тензором.

В общем случае перемещение точек среды можно представить как суперпозицию поступательного, одинакового для всех точек, перемещения, вращения и деформации.

Деформация связана с неоднородными перемещениями точек среды и характеризуется изменением вектора смещения в пространстве. Поэтому тензор деформаций выражается через пространственные производные ( градиенты ) смещения. При этом, зависимость тензора деформаций от градиентов смещения в общем случае нелинейная.

Существенную роль в динемической теории упругости играют малые деформации, при которых изменение расстояний между точками малы по сравнению с самими расстояниями. В этом случае тензор деформаций линеен по градиентам смещения и свертка тензора деформаций с некоторым вектором определяет приращение этого вектора при деформации. Величина относительного изменения длины отрезка в любом направлении в случае малых деформаций не зависит от длины отрезка и определяется только его направлением.

Компоненты тензора малых деформаций имеют вполне определенный геометрический смысл. Диагональные компоненты равны относительным удлинениям отрезков вдоль осей координат, а недиагональные --- определяют изменение прямых углов в координатных плоскостях.

Всякую малую деформацию в каждой точке среды можно представить как суперпозицию растяжений и сжатий в трех взаимно ортогональных направлениях. В математическом отношении такое представление сводится к приведению тензора деформаций в этой точке к диагональному каноническому виду.

В случае неоднородной деформации, когда тензор деформации изменяется в пространстве, его компоненты не могут быть заданы произвольно и связаны определенными соотношениями. Эти соотношения, связывающие интегральным образом значения компонент тензора деформаций в различных точках среды, являются выражением требования неразрывности среды в процессе ее деформирования.