9.2 Закон Гука в однородной изотропной среде.
Обозначим
через
в соответствии с (215) и перепишем закон
Гука (203) с учетом симметричности
:
(147)
(148)
(149)
(150)
(151)
(152)
В силу однородности и
изотропности :
и не зависят от ориентации осей координат.
1) Покажем, что главные оси тензора напряжений в рассматриваемой среде совпадают с главными осями деформаций.
Выберем систему координат в виде главных осей тензора деформаций.
Соглано (152):
Нужно показать, что
.
Повернем систему координат
на
относительно оси
.
В этой новой системе координат справедлив
закон Гука, а ее оси совпадают с главными
направлениями
.
Следовательно, в этой системе координат:
( напомним, что в силу
изотропности среды
).
Исходя из физического смысла
компонент тензора деформаций и напряжений
легко сопоставить
с
и
с
( можно также формально воспользоваться
формулой (??).
Очевидно, что:
(153)
Подставляя это в выражение
для
и сравнивая его с выражением для
,
находим, что:
Отсюда в силу произвольности получаем:
(154)
(155)
(156)
Следовательно, главные оси тензоров деформаций и напряжений совпадают и 9 из 36 модулей равны нулю.
Продолжим рассмотрение вопроса в главных осях.
2)
Повернем систему координат
вокруг оси
на
.
но:
(157)
Следовательно:
Или:
Откуда:
(158)
Перепишем с учетом этого:
Аналогично:
Заметим, что из симметричности
следует, что
.
3) Покажем, что .
(159)
(160)
Но:
(161)
(162)
(163)
(164)
(165)
т.е.
.
Аналогично, можно показать, что
.
Введем обозначения:
(166)
В этих обозначениях в главных осях закон Гука для однородной и изотропной имеет вид:
(167)
(168)
(169)
Тензор модулей упругости в
этом случае содержит только два
независимых отличных от нуля модуля,
обозначенных нами как
и
.
Эти модули называются параметрами Ламэ.
Длятого, чтобы перейти теперь
к закону Гука в произвольной системе
координат нужно воспользоваться
соответствующими формулами преобразования
компонент тензоров деформаций и
напряжений: выразить главные напряжения
,
,
через
,
главные деформации
--- через
,
подставить эти выражения в полученные
выше соотношения и провести преобразования.
В результате получится выражение:
(170)
где
.
(170) представляет собой закон Гука в однородной и изотропной среде в произвольной системе координат.
Подставляя (170) в (216) получим выражение для свободной упругой энергии в однородной и изотропной среде:
(171)
Замечание 1.
В 1828г. Пуассон, выводя определяющие
соотношения для однородной и изотропной
упругой среды из представлений о
центральном взаимодействии молекул,
получим выражение, аналогичное закону
Гука, но только с единственным модулем
упругости. Его соотношения отвечают
выражению (170), если в нем положить
.
Наличие только одного модуля упругости явилось следствием ошибочности представлений Пуассона о строении твердых тел. Однако феноменологически для многих тел его результат в грубом приближении справедлив: для многих реальных тел, особенно для горных пород, параметр, параметры Ламэ и достаточно близки друг к другу. Допущение о том, что для рассматриваемой среды в настоящее время носит название гипотезы Пуассона.
Замечание 2. Сопоставляя (170) с (152) легко видеть, что:
Этот же результат можно
получить другим путем. Однородность и
изотропность среды означают, что тензор
модулей упругости постоянен в пространстве
и состоит из инвариантов. Мы знаем, что
такими свойствами обладают тензоры
2-го ранга с тремя одинаковымим значениями,
т.е. тензоры вида
.
Воспользуемся этими свойствами и сконструируем тензор из таких тензоров 2-го ранга:
Из симметричности
следует, что
(т.к.
.
Обозначим
и
придем к
что совпадает с полученным выражением для .
Замечание 3.
В однородной анизотропной среде закон
Гука имеет вид (203), где
,
но не являются
инвариантами. В общем случае в однородной
анизотропной среде тензор
содержит 21 независимую константу.
Резюме section4. 1. В однородной и изотропной среде ее упругие свойства одинаковы с во всех точках и по всем направлениям. Это означает, что компоненты тензора модулей упругости постоянны в пространстве и инвариантны к повороту системы координат.
2. В однородной и изотропной среде сущесьвует только 2 независимых ненулевых модулей упругости, которые называются параметрами ЛАМЭ.
3. Закон Гука в однородной изотропной среде имеет вид (170).