1.3. Историческая изменчивость доказательства.

Сначала открыть, потом обосновать. В XVI-XVII вв. европейские ученые все шире стали применять различные типы чисел (отрицательные, иррациональные и ком­плексные числа) и алгебру. Эти нововведения хорошо помогали в обработке результатов экспериментов, но теоретически они были не обоснованы. Античные математики, выдвинув идеал логическо­го доказательства, воплотили его в геометрии. Почему же в Новое время математики отступили от этого идеала? Здесь было несколь­ко причин. Поначалу алгебру не считали самостоятельным направ­лением, ее рассматривали в качестве вспомогательного метода ана­лиза геометрических задач. Итальянец Д. Кардано (1501-1570) и француз Ф. Виет (1540-1603) оценивали алгебру как «аналитичес­кое искусство», дополняющее геометрическую науку. К концу XVII в. математики осознали, что арифметика и алгебра независимы от геометрии. Но они не представляли того, какими теоретически­ми методами провести их обоснование. Понятия иррационального или комплексного числа оказались сложнее наглядных образов геометрии.

Мировоззренческие предпосылки математического анализа и его теоретическое обоснование. Из интуитивных образов арифме­тики и алгебры родилось дифференциальное и интегральное исчис­ление. Здесь особо трудными были две проблемы: определение и вычисление производной и определенного интеграла. Математи­ческое определение производной принадлежит французскому уче­ному П. Ферма (1601—1665). Он предложил правильный метод вы­числения производной через среднюю скорость без общего обос­нования. Способ «флюксий», разработанный Ньютоном, мало чем отличался от метода Ферма. Введение же бесконечных рядов хотя и упростило операции дифференцирования и интегрирования, но создало новые трудности (расходящиеся ряды). В своем определе­нии производной Лейбниц использовал представление о бесконеч­но малой как величине, которая меньше любого заданного числа, но все же не равна нулю. Интеграл предстал у него в виде беско­нечной суммы бесконечно малых величин. В ответ на критические замечания ученых в адрес его представлений о бесконечно малом и бесконечно большом Лейбниц сформулировал философский при­нцип непрерывности: «Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обла­дать тем же свойством». Но и этот принцип не внес должной яснос­ти и рациональной строгости.

Мировоззренческая критика. С нею на математический анализ обрушился ирландский эпископ Дж. Беркли (1685-1753). Он опа­сался, что математическое естествознание расширит число атеис­тов. В новой математике он обнаружил явные и неявные наруше­ния закона противоречия, а также неприемлемые для математики операции. По его мнению, первые флюксии (производные) Ньюто­на вышли за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного чувственного опыта. Беркли отверг и бес­конечно малые величины Лейбница, которые плодотворны лишь в силу того, что ошибки здесь взаимно компенсируются. Новый ана­лиз оказался слишком экстравагантным для философии, соединив­шей религию, субъективный идеализм и эмпиризм. Если любая те­ория кажется подозрительной в силу отсутствия непосредственной связи с ощущениями, то математика сплошь состоит из таких «не­достатков». Беркли был прав только в том отношении, что у новой математики явно не хватало ясных и доказательных понятий.

Отказ от геометрических приемов и переход к строгому дока­зательству. Первый важный шаг в этом направлении сделал Эй­лер. Он полностью отверг геометрию как основу анализа и стал опе­рировать с функциями чисто формально, строя рассуждения на ос­нове алгебраического представления функций. Решающий сдвиг произвел французский математик О. Л. Коши (1789-1857). Он решил построить обоснование анализа на поняти­ях числа и предела. Ему принадлежат по существу правильные оп­ределения функции, непрерывности и производной. Коши разра­ботал теорию сходимости рядов, где хотя и дан критерий сходимос­ти последовательности, но не доказана его достаточность. Работу по обоснованию анализа завершил немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897). Он полностью освободил его от физических интуитивных представлений о движении и геометрической нагляд­ности. Вейерштрасс показал, что дифференцируемость не следует из непрерывности, и представил пример функции, непрерывной при всех вещественных х, но не дифференцируемой ни при одном значении х.

Обоснование арифметики и геометрии. Вслед за анализом они стали предметом обоснования. Эта последовательность, обратная истории матема­тики, дополнялась логикой движения от сложного к относительно простому. В 1837 г. английский математик У. Р. Гамильтон (1805-1865) приступил к обоснованию комплексных чисел, сведя их к упо­рядоченным парам вещественных чисел и определив основные опе­рации над ними. Затем Вейерштрасс стал осмысливать систему ве­щественных чисел, предложив строгое определение и вывод свойств иррациональных чисел из известных свойств рациональ­ных чисел. В 1888 г. немецкий ученый Р. Дедекинд поставил про­блему обоснования рациональных чисел и описал основные свой­ства, которые могли бы стать основой аксиоматической теории. Итальянец Дж. Пеано построил теорию рациональных чисел на базе аксиом, отражающих признаки натуральных чисел.

Программа наведения логической строгости распространилась и на геометрию. Дело в том, что в XX в. возникло несколько неев­клидовых геометрий. Заменив аксиому Евклида о параллельных другими положениями, их создатели – Гаусс, Лобачевский, Бойаи – не были уверены в непротиворечивости своих построений. В конце XIX в. математики доказали, что неевклидовы системы отве­чают нормам теоретической строгости. Было также показано отли­чие их математического содержания от возможных модельных ин­терпретаций (физический смысл). Когда ученые обнаружили не­которые изъяны в геометрии Евклида, они были устранены доста­точно быстро. Это свелось к установлению четко очерченного кру­га неопределяемых терминов, уточнению нескольких определений, восполнению недостающих аксиом и завершению доказательств. Данную работу по обоснованию проделали М. Паш (1843-1930) и Д. Веронезе (1854-1917).

1.4. Направления развития оснований математики. Когда во второй половине XIX в. возникла теория множеств (Г. Кантор) и в ней обнаружились противоречия, то это обострило проблему направленности развития математики. По какому пути она должна развиваться, чтобы в ее основаниях не возникали про­тиворечия? Здесь было предложено несколько направлений.

Логицизм. Его идейные истоки заложил Лейбниц, полагавший, что общие основания математики следует выводить из логики. Последнюю он считал источником необходимых истин или истин основания, у ко­торых существуют противоположные утверждения, ведущие к про­тиворечиям (Бог существует или не существует; суждение может быть истинным или ложным), Бог установил так, что законы логи­ки незыблемо истинны во всех возможных мирах и поэтому матема­тические истины как необходимые должны выводиться из принци­пов логики. Последующие логицисты не апеллировали к Богу. Так, Де-декинд полагал, что из законов чистого человеческого разума вытека­ет понятие числа, на котором и следует основывать всю математику.

К программе логицизма присоединился немецкий математик Г. Фреге (1848—1925). Он взял на вооружение ряд положений кантовской философии. Принципы логики являются априорными ис­тинами, т.е. истинами, принадлежащими человеческому разуму как бы врожденно, до всякого эмпирического опыта. В этих истинах не­явно заложены аналитические суждения, включающие и матема­тические законы. Задача состоит в том, чтобы произвести соответ­ствующее выведение и сделать законы явными. Составив список аксиом, Фреге из них, как из посылок, стал выводить арифмети­ческие понятия и правила, но пришел к ряду противоречий.

Другой вариант на тему логицизма предложили английские уче­ные Б. Рассел (1872-1970) и А. Н. Уайтхед (1861-1947). Они полагали, что можно построить строгую теорию логики и вывести из нее всю математику посредством особой символики. Чтобы из­бежать парадоксов в теории множеств, Рассел и Уайтхед ввели те­орию типов, которая запрещает множества, принадлежащие самим себе, и тем самым устраняет ряд противоречий, включая парадокс лжеца («Все, что я говорю - ложь»). Строя сложные классифика­ции, ученые вынуждены были использовать аксиомы сводимости, бесконечности и выбора. Их критики справедливо заявили, что эти аксиомы неясны, произвольны и спорны. Кроме того, если вся ма­тематика чисто формально выводится из законов мышления, то откуда следует ее разнообразные приложения к реальному миру? Если все сводится к логике, то, как объяснить действие в математи­ке образной интуиции?

Если логицизм не дал ответов на эти вопросы, то они оказались в центре внимания другого направления.

Интуиционизм. Основная идея здесь была задана Декартом и другим французс­ким мыслителем Б. Паскалем (1623-1662). По мнению Декарта, ин­туиция есть способность интеллекта находить в разуме ясные, про­стые и весьма общие истины (треугольник ограничен тремя линия­ми и т.п.). И уже из них выводит частные следствия дедуктивное мышление. Паскаль же связал интуицию с душой (сердцем), сбли­зил с верой и противопоставил ее логическому разуму. Важный вклад в становление современного интуиционизма внес французс­кий ученый А. Пуанкаре (1854-1912). Он был убежден в том, что интуиция предшествует всякой аксиоматизации, формализации и логическому выводу. Интуиция делает возможной математическую индукцию, которая и дает новое знание.

Идеи своих предшественников смог свести в единую концепцию голландский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881-1966). Он придержи­вался нескольких философских идей. Существуя в сознании чело­века, математика никак не зависит от внешнего мира. Разум инту­итивно или непосредственно постигает в самом себе основные и сходные представления. Их нельзя считать чувственными или ло­гическими, просто это непосредственно данные понятия и, прежде всего, понятия целых чисел. Они основаны на интуиции времени как некоторой последовательности. Так, ряд натуральных чисел образуется в ней путем неограниченного повторения. Математи­ческое мышление созидательно и конструирует свои истины без логики. Ограничения связаны лишь с тем, какие идеи приемлемы для интуиции, а какие не приемлемы. К числу первых кроме нату­ральных чисел Брауэр отнес операции сложения, умножения и математичес­кую индукцию.

По мнению ученого, сущность математики не зависит от языка, который обслуживает мир эмпирического опыта. Слова и символы играют в ней вспомогательную роль и служат только для передачи математических истин. Логика же принадлежит языку, она дает правила для составления предложений и их совокупностей. Стало быть, логика по преимуществу есть инструмент человеческого об­щения, а не метод познания. В науке логика должна быть подчине­на интуиции и может быть выстроена на основе математики. Вот почему аксиоматизация, ориентированная на логику, не имеет смысла для развития математики. Такая программа уже привела к самым серьезным противоречиям. Старая логика требует пересмотра. В число отброшенных элементов должен войти закон ис­ключенного третьего, неприменимый для бесконечных множеств, ввиду невозможности проверки. Эти и другие положения Брауэра поддержали другие математики (Г. Вейль, А. Гейтинг и др.)

Интуиционисты не смогли прийти к единому мнению относи­тельно сути конструктивного доказательства. Одни полагали огра­ничиться лишь теми понятиями, которые допускают эффективное определение или построение. Конструктивисты же не ставили под сомнение классическую логику и стремились использовать ее как можно полнее. Некоторые выделяли определенный класс математических объектов, а затем вводили конструктивные ме­тоды. В силу ряда недостатков интуиционистам удалось добить­ся весьма ограниченных успехов и их перспективы не являются блестящими.

Формализм. Данное направление сформировал немецкий математик Д. Гиль­берт. Его программа состояла из ряда положений. Ба­зовыми должны быть аксиомы и понятия, как логики, так и мате­матики, ибо эти дисциплины не выводятся друг из друга. Матема­тика является формальной наукой, занимающейся преобразовани­ем символов безотносительно к их значению. Доказательства тео­рем должны сводиться к преобразованию символов по правилам логического вывода. Чтобы избежать использования интуитивных представлений, ведущих к парадоксам, нужно записать все утвер­ждения математики и логики в символической форме. Строгое до­казательство включает в себя три этапа: 1) предъявление некото­рой формулы; 2) утверждение, что из данной формулы следует дру­гая формула; 3) предъявление второй формулы.

Гильберт и его ученики создали метаматематику (греч. meta – после, за) как метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы. Здесь предлагалась особая логика, которая не должна вызывать никаких возражений. Все спорные моменты изгонялись. Понятия и методы метаматематики оценивались как финитные (лат. finites – конечный), т.е. все рассматривается в рам­ках принципиальной представимости объектов и принципиальной выполнимости операций.

Теоретико-множественное направление Его основные идеи намечены Дедекиндом и Кантором. Основу классической теории множеств заложил немецкий математик Г. Кантор (1845-1918). Он нарушил многовековую традицию и ввел в математику представление об актуально бесконечных множествах как реально существующих сущностях. В качестве исходного бесконечное множество Кантор определил как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своими собственным подмножеством. Отсюда следовало, что можно сравнивать два актуально бесконечных множества и устанавливать то, содержат ли они одинаковое число элементов или нет. К такой паре можно отнести положительные целые числа и четные числа:

1 2 3 4 5 …….

2 4 6 8 10 …...

В ходе сравнений Кантор установил отношение эквивалентности, или равенства («равномощности») двух множеств. Также он выяснил, в каком смысле следует понимать, что одно бесконечное множество больше другого. Отсюда стали получаться удивительные выводы. Оказалось, что множество целых чисел равносильно множеству рациональных чисел (все положительные и отрицательные целые числа и дроби), но меньше множества всех вещественных (рациональные и иррациональные) чисел. Когда Кантор ввел понятие «множество всех множеств», мощность которого должна быть самой большой из возможных, то это обернулось тяжелым ударом по всей теории. Ученый доказал, что множество всех множеств любого заданного множества должно обладать трансфинитным числом, которое превосходит трансфинитное число, отвечающее исходному множеству. Следовательно, должно существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. Налицо неумолимый вывод, дающий явное противоречие, которое ставит всю теорию в ранг ложных концепций. Кроме этого возникли и другие парадоксы, усугубившие подозрительное отношение к теории множеств. А ведь на нее возлагались надежды обоснования теории целых чисел.

К разрешению парадоксов теории множеств подключилось несколько выдающихся ученых. Б. Рассел разработал теорию типов, где множества заняли разные уровни некой иерархической системы. В ней было пересмотрено мне­ние Кантора о том, что множество есть любой набор определенных пред­метов, доступных нашей интуиции или мысли. Это определение и Э. Цермело (1871-1953) оценил как наивное и нестрогое, обусло­вившее ряд противоречий. Он предложил систему аксиом с неоп­ределяемыми понятиями множества и отношения включения одно­го множества в другое. Позднее ее усовершенствовал А. А. Френкель (1891-1965). В этой системе исключено множество, содержа­щее все множества. На основе данной аксиоматики строятся клас­сический математический анализ, арифметика {теории чисел), геометрия, т.е. почти вся математика.

Под огнем критики. Теоретико-множественная программа так­же не избежала критики. Указывалось, что здесь не решен вопрос о логических принципах теории, некоторые аксиомы произвольны и искусственны. И все же метод Цермело-Френкеля является ныне одним из самых надежных и фундаментальных подходов в матема­тике. С некоторыми поправками его развивает группа математи­ков, объединившихся под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки.

1.5. Мировоззренческая неоднозначность математики. Все четыре направления можно считать различными решениями одной проблемы – «Какова сущ­ность математического доказательства?» Имея общематематичес­кий характер, она сопряжена с несколькими мировоззренческими вопросами. Один из них выделяет отношение математики к внеш­нему миру и ученому. Здесь, как и по другим проблемам, математи­ки используют традиционные философские решения. Усмотрение математических прообразов во внешних для человека сущностях объединяет религиозную философию, объективный идеализм и материализм. Приверженцы данной идеи вынуждены выби­рать определенный вариант. Так, Л. Кронекер полагал, что целые числа созданы Богом, а Кантор истоки множеств нашел в трие­динстве христианского Бога. К платоникам можно отнести Ш. Эрмита (1822-1901), считавшего, что числа и функции анализа сущес­твуют как внешние объективные идеи.

Математика – не открытие, а изобретение ученого. Если математика зависит от внешнего мира, то ученый способен лишь от­крывать предсуществующие истины. С позиции же субъективного идеализма математик творит те или иные теории, их изобретение зависит только от сознания ученого. У этой идеи есть два варианта. Один из них предложен Кантом, для которого математические зна­ния определены априорными формами чувственного созерцания и рассудка. С этой позицией солидаризировался Гамильтон, создав­ший такие числовые структуры как кватернионы. По его мнению, геометрия и алгебра являются науками чистого разума, следствия­ми врожденной способности человека. Видный алгебраист XIX в. А. Кэли полагал, что математика представляет априорные знания, не зависящие от всякого опыта вообще и выражающие вклад на­шего разума в интерпретацию опыта. Согласно другому варианту субъективизма, математическое творчество не ограничено какими-то вечными правилами разума. Те или иные результаты относитель­ны и изменчивы, ибо ученые сами устанавливают правила в виде условных и общих соглашений. Эту философскую установку Л. Витгенштейна (1889-1951) разделяли многие интуиционисты.

Физикализм. Приоритет внешней сущности или сознания уче­ного определяет решение другой важной проблемы: «Чем явля­ется теоретическая математика: самостоятельной наукой или при­кладным методом других дисциплин естествознания?» Возможен и несколько другой вопрос: «Существуют ли у математики эмпи­рические основания?» Английский ученый Д. С. Милль (1806-1873) считал, что по сути дела математика мало чем отличается от физи­ки, так как ее теории подтверждены опытом более основательно, чем истины последней. Это мнение поддержал современный поль­ский математик А. Мостовский. По его мнению, математика явля­ется естественной наукой, потому что ее понятия исторически вос­ходят к практике и современные теории применяются в экспери­ментальном естествознании. В последнем математика уже давно выступает не только инструментом вычисления, но и методом от­крытия («математические гипотезы»). К аналогичному выводу при­шел также интуиционист Г. Вейль: «Подлинно реалистическая ма­тематика наряду с физикой должна восприниматься как часть тео­ретического описания единого реального мира ...» Д. фон Нейман (1903-1957), Гедель, и У.В.О. Куайн в физикалистской трактовке математики увидели выход из того тупика, в котором она оказалась. Если математические идеи представлять в виде гипотез, которые не обосновывают что-то, а объясняют и предсказывают эмпиричес­кие законы, то это поможет развенчать идеал одной, вечной и аб­солютной математики.

Математика влияет на философию. В заключение следует от­метить, что не только мировоззрение влияло на математическое мышление, но проявлялось и обратное действие. Речь идет о тех оценках и выводах, которые шли от фундаментальных теорий в ад­рес философских доктрин. Так, неевклидовы геометрии дали серь­езные аргументы против кантовского априоризма. Стало быть, между математикой и мировоззрением была и существует двусто­ронняя связь.

Гносеологическое значение теорем Геделя. Почти все направления математики были потрясены исследованиями австрийского математика и логи­ка К. Геделя (1906-1978). В 1931 г. он убедительно показал, что не­противоречивость любой математической системы не может быть установлена средствами самой этой системы. Этот результат оказал­ся следствием теоремы о неполноте - если формальная теория, вклю­чающая арифметику целых чисел, непротиворечива, то она неполна. Стало быть, в арифметике существует истинное утверждение, кото­рое недоказуемо и, следовательно, неразрешимо. Данная теорема за­дела все наличные аксиоматические системы и указала на пределы аксиоматизации. Истинность утверждений, недоказуемых в акси­оматической системе, может быть установлена только неформаль­ными средствами. Теорема Геделя нанесла сильный удар по форма­лизму и другим направлениям, почти не задев интуиционизм.

Теоремы Геделя проливают свет на сущностные черты математики. Они становятся важным критерием различения истинных и ложных утверждений. Так, Гильберт полагал, что возможна полная теория математики, т.е. из конечной совокупности принципов можно логически вывести все остальные математические положения, которые оказываются доказуемыми. Здесь выдвинута модель возможной математики как замкнутой теории, где новое уже невозможно. Теоремы Геделя ставят крест на таком проекте, ибо вне любой теории оказываются такие утверждения, которые не могут быть логически доказанными. Исчерпывающую замкнутую теорию построить нельзя, так как конечный список аксиом невозможен, он безбрежен.

Лейбниц утверждал, что все происходящее имеет причинное основание (принцип достаточного основания). В свете теорем Геделя данное суждение ложно или в лучшем случае сомнительно. Лейбниц исходил из убеждения античных математиков в том, что все требует общего логического доказательства. Однако компьютерная математика убеждает в обратном. Оказалось, что часть математических фактов организуется логикой и вычислениями в алгоритмическую информацию, которая подчиняется компьютерной программе. Но другая часть остается вне этих процедур и, стало быть, она не доказуема.

В рамках своей математической модели универсальной вычислительной машины А. Тьюринг сформулировал проблему: можно ли определить, остановится когда-нибудь компьютерная программа или нет? Для множества частных случаев она решается, но общего решения нет. Вероятность остановки случайно выбранной программы есть число омега «Ω»: 0 < Ω < 1. Вполне возможно, что точное значение Ω существует, но рассчитать его невозможно, ибо проблема остановки не имеет однозначного решения. Все это вписывается в «идеологию» теорем Геделя.

1.6. Существует ли в математике особая эмпирия? Этот вопрос имеет особую важность тогда, когда требуется включить математику в какую-то классификацию наук. Возьмем самое типичное деление научных дисциплин: естественные, социальные и гуманитарные. Математика пронизывает первую группу, частично присутствует во второй и является редкой гостьей для третьей. Казалось бы, ответ очевиден: математика есть в основном естественная наука, отражающая упорядоченные структуры природы и общества.

Истоки теоретической математики пребывают в эмпирической практике. Если математика так широко применяется в эмпирических науках, значит, у нее существует отношение к реальности и она обречена иметь эмпирическое происхождение. Если взять теоретическую математику, то ее понятия сформировались путем особой идеализации из единиц эмпирического опыта (восприятий, представлений). Такова точка зрения Аристотеля. Эту позицию разделяли многие математики и философы. Выделим мнение немецкого философа Э. Гуссерля (1859 - 1938), получившего специальное математическое образование (диссертация по основаниям арифметики). Мыслитель полагал, что у всех математических теорий были свои эмпирические предпосылки. Любая теория вырастает из эмпирического опыта и математика здесь – не исключение из правила. Так, все аксиомы и неявные определения геометрии Евклида суть не что иное, как вербальные обобщения богатого и многообразного практического опыта.

Итак, теоремы Геделя указывают на бесконечно сложную природу математики. Вот почему она состоит из двух областей. Одна из них в виде конечного множества теорем подчиняется логике, доказательству и расчету. Другая часть в виде аксиом не подчиняется строгой рациональности. Хотя математические факты сжимаются и сублимируются в теории, этот процесс уходит в бесконечность и список аксиом всегда открыт. Все это говорит в пользу квазиэмпиричности математики.