5.7. Синтез систем управления методами математического программирования

СУЩНОСТЬ И СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экс­тремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенства­ми). В упрощенной постановке задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом.

Имеется набор параметров х_х, х_п и функция F(x). Требу­ется определить такую совокупность параметров из множест­ва X, для которой функция ¥(х) принимает наибольшее или наименьшее значение. Функция F(x) получила название целе­вой функции.

Методы решения задач такого типа в литературе получили наименование методов математического программирования.

Термин «программирование» не связан с составлением программ для ЭВМ, но обусловлен тем, что при решении та­кого рода задач математическими средствами составляется программа действий.

Независимо от конкретной предметной ориентации задачи, решаемые методами математического программирования, с формальной точки зрения сводятся к одной постановке.

При выполнении условий

л

^{Yjaaxj > (=»-'<> ''= 1'2' т; ^0,у = 1, 2,п}

необходимо найти совокупность параметров (план)

X = {х\, Х2, х„}, при котором функция (целевая функ­ция)

^{F(x) = Jjcjxj}

7=1

принимает наибольшее или наименьшее значение.

п

Условия ^а^.^. >(=,>,<,<) Ь,- называются ограниче-

7=1

ниями задачи. Дополнительно к условиям может быть задано требование целостности всех или нескольких переменных х_у-.

Вектор X называется оптимальным планом задачи или оптимальным решением, так как его нахождение связано с отыскиванием конкретных значений параметров управле­ния.

При решении задач математического программирования широко используются свойства линейных уравнений и нера­венств, различные понятия, связанные с максимумами и ми­нимумами функций, гладкими функциями, выпуклыми мно­жествами и др.

Общая характеристика методов математического программирования

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Такими методами являются методы линейного, нелинейного дискретного, стохастического и динамического программирования.

Если функции эффективности и ограничения линейны, а операция одноэтапная, то можно применить один из методов линейного программирования. Данные методы используют одну и ту же идею: задается некоторое неоптимальное реше­ние (начальный план), а затем оптимальное решение находит­ся путем изменения начального плана в направлении прибли­жения к оптимальному. Линейное программирование является в настоящее время наиболее разработанной ветвью математи­ческого программирования.

При нелинейном характере хотя бы одного компонента ма­тематической модели (целевой функции или ограничений) применяются методы нелинейного программирования. Общих методов этого типа пока не существует, за исключением слу­чая квадратичной зависимости между критерием и парамет­рами при линейных ограничениях.

Некоторые математические модели могут содержать усло­вие дискретности значений параметров (например, по своей физической сущности параметры должны быть только целыми числами). Решение таких задач осуществляется с применением методов дискретного (целочисленного) про­граммирования.

Отыскание решений в операциях, которые носят много­этапный характер, проводится с применением метода динами­ческого программирования. Его сущность состоит в том, что оптимальное решение отыскивается не за все этапы одновре­менно, а последовательно от этапа к этапу. Идея оптимизации управления на каждом отдельном этапе использовалась давно, но без учета будущего. При динамическом программировании оптимизация каждого этапа проводится с учетом всех после­дующих этапов.

Если операция носит случайный характер и приходится иметь дело со случайными величинами и функциями, то для ее исследования используются методы стохастического про­граммирования.