Тема 2. Кінематика обертального руху. Кінематика обертального руху (2 год.)

Мета: Ввести поняття обертального руху. Зрозуміти відмінність між кутовою та лінійною швидкостями.

План

1. Обертальний рух.

2. Кутова швидкість. Кутове прискорення.

3. Зв’язок між кутовими і лінійними швидкостями і прискореннями.

Основні поняття кінематики обертального руху.

 

Обертальним рухом матеріальної точки навколо нерухомої осі називають такий рух, при якому траєкторією є коло, що знаходиться в площині перпендикулярній до осі, а центр його лежить на осі обертання.

 

Обертальним рухом абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі називають такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по концентричних (центри яких лежать на одній осі) колах відповідно до правила для обертального руху матеріальної точки.

 

Нехай довільне тверде тіло   обертається навколо осі  , що перпендикулярна до площини рисунка (рис.1). Виберемо на даному тілі точку  . При обертанні ця точка буде описувати навколо осі   коло радіусом  .

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

За певний час радіус повернеться відносно початкового положення на кут  .

 

За додатній напрям повороту прийнято напрям правого гвинта (за годинниковою стрілкою). Зміна кута повороту з часом називаєтьсярівнянням обертального руху твердого тіла:

 

.

 

Якщо   вимірювати в радіанах (1 рад – це кут, що відповідає дузі, довжина якої рівна її радіусу, 1 рад  5717), то довжина дуги кола  , яку пройде матеріальна точка   за час  , рівна:

 

.

Основні елементи кінематики рівномірного обертального руху

 

Мірою переміщення матеріальної точки за малий проміжок часу   служить вектор елементарного повороту  , який направлений вздовж осі обертання за правилом правого гвинта (рис.2).

 

 

 

Рис. 2

 

Кутова швидкість матеріальної тачки чи тіла це фізична величина, яка визначається відношенням вектора елементарного повороту до тривалості цього повороту:

 

 .

 

Напрям вектора  , як і  , визначається за правилом правого гвинта вздовж осі О (рис.2). В скалярному вигляді:

.

 Якщо 

         ,

 

то такий рух називається рівномірним обертальним рухом. При рівномірному обертальному русі кутову швидкість визначають за формулою: 

.

 

Відповідно до попереднього, розмірність кутової швидкості:

= 1 .

Рівномірний обертальний рух можна характеризувати періодом обертання. Період обертання   – фізична величина, що визначає час, за який тіло робить один повний оберт навколо осі обертання ( =1с). Якщо у формулі для кутової швидкості прийняти  ,  (один повний оберт радіуса   ), то

, 

а тому період обертання визначимо таким чином:

.

 

Число оборотів за одиницю часу називається частотою обертання ( ), яка рівна:

.

 

Одиниці вимірювання частоти:  .

Порівнюючи формули для кутової швидкості та частоти обертання, одержимо вираз, що пов’язує ці величини:

 

.

 Основні елементи кінематики нерівномірного

Обертального руху:

 

При нерівномірному обертальному русі матеріальної точки чи твердого тіла навколо нерухомої осі його кутова швидкість змінюється з часом.

 

Вектор  , що характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається вектором кутового прискоренням:

 

.

 

Якщо тіло обертається прискорюючись, тобто  , то вектор   направлений вздовж осі в ту ж сторону, що і   (рис.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

 

При сповільненому русі   і вектори   і   протилежно направлені (рис.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

 

Зауваження. При нерівномірному обертальному русі вектор   може змінюватисьне не тільки за величиною, а і за напрямом (при повороті осі обертання).

 Зв´язок величин, що характеризують поступальний і