Разность нормальных высот в методе гидростатического ни­ велирования можно получить по формуле (10.3) водного нивели­ рования. Полагая на уровенной поверхности, задаваемой уров­

нем жидкости, W' - W* - 0, получим

Щ - Н \ =h2 - h i + — [ ( g - γ)2h2 - (g - 7),/г,],

У т

где hx и h2 - отсчеты в точках 1 и 2; (g - γ)χ и (g - γ)2 ~ аномалия силы тяжести в этих точках.

§ 74. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА В МЕСТНОЙ СИСТЕМЕ

Для редуцирования в местную систему координат во всех точ­ ках сети нужно знать разности астрономо-геодезических уклоне­ ний отвеса любого пункта сети и начального пункта или двух пунктов сети. Рассмотрим возможность их определения. В главе 7 для разности астрономо-геодезических и гравиметрических укло­ нений отвеса было получено выражение

к;+ 0,171tfsin25cos/i,

где к - составляющая угла между нормалями к референц-эллипсо- иду и общему земному эллипсоиду в азимуте А, в котором вычис­ лены составляющие ϋ*Γ и ϋ^ρ. Представим гравиметрическое ук­ лонение отвеса в виде ϋ^ρ=ϋΣ - где ϋΣ - влияние аномалий силы тяжести в области Σ, целиком содержащей инженерно-геоде­ зическую сеть; - не учитываемое влияние дальних зон. Если влияние дальних зон и угол к будут постоянны в пределах сети, то разности астрономо-геодезических и гравиметрических укло­ нений отвеса совпадут

стоянными. Составляющие Αξ, Αη угла к в плоскостях меридиана и первого вертикала согласно формулам (2.18) можно написать в виде

Αξ = — (х0sin В cos L Η- у0sin В sin L - z0cos В),

R

Ari = — ( x 0 sinL - у о cosL )·

к

362

Дифференцируя эти равенства по координатам В и L, полу­ чим изменение составляющих уклонения отвеса на участке съемки

d(Α ξ) = -jr (х0 cos В cos L-i- y0 cos В sin L + z0sin B)AB,

К

ά(Αη) =-i- (x0 cos L + у0sin L)ALcos B.

К

Координаты x 0, y0, z0 центра общего земного эллипсоида в референцной системе не превышают 200 м. Полагая х0 = у0z0 = 100 м, получим оценку изменения угла наклона

|ί/(Δξ)|<^ρΔβ, |i/(Af7)|<-^^A5cosL

и для съемки площадью 10 х 10 км, когда АВ = 1,6 · 10_3, AL cosВ = = 10_3

\ά(Αξ)\ < 7 · 10"8 = 0,0Г, \ά{Αη)\ <3 · 10"8 = 0,006".

Уклонение отвеса вычисляют обычно с меньшей точностью, поэтому при сделанных предположениях угол к можно считать постоянным.

Предположение о постоянстве влияния дальних зон вызовет в разностях ξ - ξ0, η - η0 ошибку δ., которая оценивается неравен­ ством

где D - дисперсия аномалии силы тяжести на границе области Σ учитываемых аномалий, /Σ -радиус области Σ; / - расстояние точ­ ки, для которой выполняется оценка, от начала координат в мес­ тной сети. Положим, что условие (11.27) выполнено и уклонения отвеса в местной системе можно находить по формуле (11.26), и вычислим гравиметрические уклонения отвеса ξΣ, ηΣ. Для их на­ хождения нужно располагать гравиметрической съемкой, плот­ ность которой определяется необходимой точностью вычисления уклонения отвеса. Принципы расчета гравиметрической съемки для целей прикладной геодезии изложены в [6], [23]. При расчетах та­ кой съемки прежде всего согласно формуле (11.26) устанавливают радиус области, на которой нужно иметь аномалии силы тяжес­

363

ти. Если в этой области есть равномерная гравиметрическая съемка, то уклонение отвеса в любой точке сети можно вычислить с точностью

τηϋ - 0,15"mg _ γ

где ιηϋ - ошибка уклонения отвеса,mg _ γ - ошибка аномалии силы тяжести в миллигалах.

Если уклонение отвеса нужно вычислить с большей точнос­ тью, чем определяется по этой формуле, приходится производить дополнительные измерения силы тяжести. При этом целесообраз­ но гравиметрические пункты располагать не равномерно, а со­ здавать съемку большей плотности (съемку сгущения) вокруг вы­ числительных точек, причем плотность этой дополнительной съем­ ки убывает по мере удаления от точки, где вычисляют уклонение отвеса. Это объясняется характером влияние аномалий силы тя­ жести на уклонения отвеса: при равномерной съемке ошибка δύ уклонения отвеса, вызванная влиянием аномалий силы тяжести в кольце шириной s (рис. 11.10), равной расстоянию между грави­ метрическими пунктами, и центром в точке вычисления определя­

ренний радиус кольцевой зоны равен s/2.Специально созданная инженерно-гравиметрическая съемка позволяет вычислить мест­ ные уклонения отвеса с точностью до сотых долей секунды. На­ пример, для обеспечения строительства Серпуховского ускорите­ ля была создана съемка плотности 1 пункт на 0,06 км2 на площа­ ди 20 км2, что позволило вычислить гравиметрические уклонения отвеса с точностью 0,01".

При обработке результатов инженерно-гравиметрической съем­ ки нормальную силу тяжести γ0приходится вычислять в большом числе близко расположенных пунктов. В этом случае использова­ ние нормальной формулы в геодезических координатах нецелесо­ образно. Удобнее пользоваться формулой для нормальной силы тяжести в координатах Гаусса-Крюгера. Инженерно-гравиметри­ ческая съемка занимает обычно небольшую площадь. Поэтому

364

Рис. 11.10. К выводу формулы ошибки уклонения отвеса по равномерной гравиметрической съемке:

j - расстояние между пунктами и ширина кольцевой зоны

можно найти нормальную силу тяжести у0 в каком-либо одном пункте сети по формуле

а в остальных пунктах вычислять приращение Αγ = у0(В) - у0{В0) силы тяжести, которое можно написать в виде

Αγ = 7eP(sin2i? - sin2#0) - γ $ χ(ύη22Β - sin2250).

Используя ряд Тейлора, можно получить

sin2# - sin2# 0 = AB sin2#0 + AB2cos2B0,

sin225 - sin22#0= 2AB sin4#0 + 4A#2cos4#0.

С учетом этих равенств формула для разности нормальной силы тяжести получает вид

Δу = γ$(ύη2Β0 + АВ2со?,2В0)АВ - 2 γ $ χ(ύχ\4Β0 +

365

Разность АВ широт можно найти по прямоугольным коорди­ натам. Геодезическая широта В связана с координатами х, у в системе Гаусса - Крюгера формулой [14]

В - В ' = 2M'N‘;tgB 'h- 12Ν ' -(5 + 2tg2В '+η'2tg1В') +

где В' - широта, вычисляемая по дуге меридиана длиной х; η'2 = e'2cos2B'; М' и Ν' - радиусы кривизны меридиана и первого вер­ тикала, вычисленные по аргументу В'. Разность широт двух точек можно написать в виде

+М ± « Х (/ ./ )!

8Λζ ^ У о \

Если точка лежит на краю зоны и у - уа = 300 км, тогда на широте 55° влияние последнего члена в фигурных скобках вызовет в нормальной силе тяжести ошибку, меньшую 0,01 мгл, поэтому этот член можно не учитывать и для разности широты написать

Разность широт В' - В'0можно найти по длине х дуги меридиана

VМп + ш ср + м

где М0, М и М - радиусы кривизны меридиана в точках с широ­ тами В'0, W и на середине дуги л: - х0.

Если разность х - х 0 не превышает 20 км, можно вычислять

разность широт с постоянным значением радиуса кривизны ме­ ридиана

в '- в :

М 0 '

366