Сравним широту и долготу в рассматриваемых системах. В на­ туральной системе широта и долгота определены направлением действительной силы тяжести, в нормальной системе - нормаль­ ной. Нормальная сила тяжести в точке Р не совпадает с действи­ тельной ни по величине, ни по направлению. Угол между направ­ лениями реальной и нормальной силы тяжести называют гравимет­ рическим уклонением отвеса, а разность модулей этих сил - аномалией силы тяжести.

Составляющие гравиметрического уклонения отвеса определя­ ют по формулам, аналогичным (2.32) для астрономо-геодезических уклонений

ηΓ = (λ - L)cosB.

Таким образом, разности широт и долгот в нормальном и ре­ альном поле являются составляющими гравиметрического уклоне­ ния отвеса.

§ 23. СВЯЗЬ ЭЛЕМЕНТОВ АНОМАЛЬНОГО ПОЛЯ С АНОМАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Связь аномалии высоты и аномального потенциала установле­ на в § 22 и выражается формулой Брунса. Найдем зависимость меж­ ду аномалиями силы тяжести и аномальным потенциалом.

Аномалии g силы тяжести обычно получают, вычитая из зна­ чения действительной силы тяжести gp в точке Р значение нормаль­ ной силы тяжести уру в точке Ру

&g = gp - 7РГ

такие аномалии называют смешанными. Вточке Рунормальную силу тяжести находим по формуле (3.69)

Эу у

7 „ = Г , - з ^

и для смешанной аномалии получаем

Ag - gp ~Ур +

Найдем связь смешанных аномалий с аномальным потенциа­ лом. Учитывая, что аномальный потенциал и аномалии силы тяже­

110

сти являются малыми величинами, будем при этом считать направ­ ление Р’Р совпадающим с направлением радиуса-вектора г точки Р, т.е. не будем учитывать сжатие Земли. В сферическом приближе­ нии согласно формуле (3.70) вертикальный градиент нормальной силы тяжести имеет вид

Эу _ 2 ЭЯ ~ ~ 7'

Разность g - γρ действительной и нормальной силы тяжести в точке Р называют чистой аномалией силы тяжести. С принятой точностью для чистой аномалии можно получить

или с учетом формул (4.8) и (3.70) находим

На поверхности Земли при г = R

Гравиметрические уклонения отвеса также связаны с аномаль­ ным потенциалом:

Эти формулы получают в курсе геодезической гравиметрии и теории фигуры Земли.

Таким образом, составляющие уклонения отвеса и аномалии силы тяжести являются первыми производными аномального потенциала, а задача перехода от натуральных координат к координатам в нор­ мальном поле сводится к определению аномального потенциала.

Рассмотрим некоторые виды уклонений отвеса и аномалий вы­ сот и способы их определения.

111

§ 24. УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ И ФИЗИЧЕСКОМ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

При определении уклонения отвеса выбирают в качестве отсчетного направления или нормаль к эллипсоиду или направление нормальной силы тяжести. В первом случае говорят об уклонении отвеса в геометрическом определении, во втором - об уклонении отвеса в физическом определении. Поясним эти понятия с помощью рис. 4.2, представляющего фрагмент рис. 2.7.

Геодезический эллипсоид можно рассматривать как уровенную поверхность потенциала силы тяжести. Проведем через точку Р касательную Ру* к силовой линии (на рисунке она не показана) поля эллипсоида. Эта линия лежит в плоскости геодезического меридиа­ на пРр, а касательная к ней пересекает экватор в точке qv Угол qjPq2 = и? между направлениями у* и g называют уклонением отве­ са в физическом определении.

Рис. 4.2. Уклонения отвеса в геометрическом и физическом определениях

Направления нормали к эллипсоиду и нормальной силы тя­ жести не совпадают из-за кривизны нормальной силовой ли­ нии. Силовая линия нормального поля - плоская кривая, лежащая в плоскости меридиана. Поэтому выбор за отсчетное направле­ ние нормали к эллипсоиду или отвесной линии скажется только на

112

составляющей ξ уклонения отвеса в плоскости меридиана; состав­ ляющая η в плоскости первого вертикала одинакова в обоих случаях. Плоскости астрономического и геодезического мери­ дианов близки между собой, угол между ними равен разности астрономической и геодезической долгот. Можно считать поэто­ му, что угол между проекцией отвесной линии на плоскость гео­ дезического меридиана равен астрономической широте, и полу­ чить уклонения отвеса в геометрическом и физическом определе­ ниях (рис. 4.3)

ξ = φ - Β , ξ Φ= φ - Β γ .

Рис. 4.3. Составляющая уклонения отвеса в плоскости меридиана в геометрическом (а) и физическом (б) определениях

Эти уклонения отвеса отличаются на величину угла ε из-за от­ личия геодезической широты и широты в нормальном поле.

В главе 3 (см. формулы 3.77) для угла ε между нормалью к эл­ липсоиду и касательной к нормальной силовой линии получено выражение

ZnPq i = ε = sin 2В,

1R

Н- высота над эллипсоидом; β - коэффициент нормальной форму­ лы, R - средний радиус Земли.

Поэтому для связи геометрической ξ и физической ξ^ составля­ ющих уклонения отвеса справедливо равенство

ξΦ= φ - Β - ε = ξ - ε = ξ

R

113