Если наклоны Ah/Al физической поверхности невелики, после­ дний член можно отбросить. При Ah/Al = 0,01 и аномалии g -у = 30 мгл его величина не превышает 0,1". Тогда для уклонения отвеса можно пользоваться формулой

*ф Αζ

которая следует также из выражения (8 .8 ). В холмистой и горной местности следует использовать формулу (8.27).

Рассмотренным способом можно найти только сглаженные ук­ лонения отвеса, осредненные на отрезке Δ/. Они могут существен­ но отличаться от уклонений отвеса в конкретной точке.

§ 49. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

Аномалию высоты можно найти по спутниковым определе­ ниям, астрономо-геодезическим измерениям и гравиметрическим данным.

По спутниковым данным определяется аномалия высоты над общим земным эллипсоидом как разность геодезической и нормаль­ ной высот

Гравиметрическая съемка также позволяет получить абсолют­ ную аномалию высоты по формуле Стокса

Гравиметрическую аномалию высоты на поверхности Земли можно представить в виде ряда шаровых функций. Возьмем для этого формулу (5.37) и положим а = r = R, у= GM/R, т.е. не будем

Т

7

ооп

где R - средний радиус Земли.

237

В главе 4 для астрономо-геодезической аномалии высоты полу­ чена формула (4.40)

(8.32)

z° ύ η Β +^πγ Я (g ~

Эту же аномалию можно найти, используя формулы (2.16) и (2.5),

ζΑΓ= ζ 3- (.x0cosL + yr;sinL)cos£ +

Вобеих формулах для нахождения астрономо-геодезических аномалий высоты нужно знать массу и размеры эллипсоида, то есть постоянные G(M - М0), W0 - Uoi а, е2, координаты х0, у0, z0центра масс и аномалию высоты относительно общего земного эллипсои­ да или гравиметрическую аномалию.

Перечисленные способы нахождения аномалии высоты имеют недостатки при практическом применении. Спутниковые изме­ рения позволяют найти аномалию высоты только в тех точках, где известны нормальные высоты. Формулы (8.30) и (8.32) тре­ буют измерений силы тяжести на всей поверхности Земли. Кроме того, для нахождения астрономо-геодезической аномалии высоты по гравиметрическим данным должны быть известны постоянные

М- М э0, W0 - U0 , х 0, у0, z0. Ряд (8.31) ограничивают конечным числом членов, что ведет к сглаживанию, осреднению аномалии высоты.

Всвязи с этим основным методом получения аномалии высоты до настоящего времени остается способ, основанный на использо­ вании связи (8.7) и (8.14) разности аномалий высот и уклонений отвеса. Причем в зависимости от способа получения уклонения отвеса вдоль линии нивелирования различают методы астрономи­ ческого и астрономо-гравиметрического нивелирования.

Способ, позволяющий объединить формулы (8.30) и (8.31) и повысить точность вычисления аномалии высоты, будет описан ниже.

238

§ 50. АСТРОНОМИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ

Метод астрономического нивелирования предложен Ф.Гельмертом как дифференциальный метод определения превышений гео­ ида. Так как геоид - уровенная поверхность и превышения dh рав­ ны нулю, в этом случае следует использовать формулу (8 .8 ), выпол­ нив интегрирование между астропунктами

ζ ΒΑ Γ - ζ ΑΛ Γ = - \ v * d l = - ϋ „ 1 ,

AB

где $т - среднее интегральное значение уклонения отвеса, / - рас­ стояние между астропунктами.

Для нахождения #w уклонения отвеса ϋφ нужно знать во всех точках линии нивелирования АВ; их получают методом линейной интерполяции. Тогда среднее интегральное значение уклонения отвеса совпадает со средним арифметическим и превышение геоида

(8.34)

Это - формула Гельмерта астрономического нивелирования геоида. Как видно, превышение геоида определяется только по ас­ трономическим и геодезическим данным. Однако, чтобы по этой формуле получить превышения геоида над эллипсоидом, нужно использовать уклонения отвеса на геоиде. При использовании укло­ нений отвеса в точках физической поверхности Земли эта формула позволит найти разность аномалий высоты точек уровенных по­ верхностей, проходящих вблизи Земли.

Разность аномалий высоты методом астрономического ниве­ лирования получится после интегрирования выражения (8 .1 1 ) так­ же в предположении о линейном характере изменения уклонений отвеса

(8.35)

где I - длина линии.

Формулы (8.34) и (8.35) называют формулами астрономическо­ го нивелирования.

Оценим ошибку передачи аномалий высоты методом астро­ номического нивелирования, обусловленную ошибками уклоне­

239

ния отвеса. Если передавать разности аномалий высоты последо­ вательно от одного астропункта к другому, для конечной точки Р получим

(8.36)

где п - число звеньев; /,· - длина звена; # ф - среднее значение со­

ставляющей астрономо-геодезического уклонения отвеса в азиму­ те звена (g -y)f9/Shi- средняя аномалия силы тяжести и превыше­ ние на звене; ут- среднее вдоль всего хода от А до Р значение нор­ мальной силы тяжести.

В формуле (8.36) влияние последнего члена при оценке точнос­ ти учитывать не будем. Его значение даже при (g - 7 ) = 100 мгл и Ah = 100 м во всех звеньях составит около 10 см при п = 10.

Положим расстояния /,· одинаковыми и равными /, аномалию

ζ ^ Γ в исходном пункте безошибочной, тогда вызванная неточно­

стью уклонений отвеса ошибка аномалии высоты

Таким образом

(8.37)

Введем ошибку μ на 1 км хода. Полагая L = 1 км, получим

Используя формулу (8.16) ошибки интерполяции астрономо­ геодезического уклонения отвеса и среднее расстояние между пунк­ тами / = 1 0 0 км, находим

(8.38)

и

(8.39)

240