Глава 5

ПРИНЦИПЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ. ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ. ОБЩЕЗЕМНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Фундаментальные постоянные, задающие нормальную Землю, и стоксовы постоянные реальной Земли находят по результатам раз­ ного вида измерений - астрономических, геодезических, гравимет­ рических. Рассмотрим основные методы определения этих величин.

§ 29. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Как установлено в главе 3, фундаментальные постоянные нуле­ вого порядка задают массу и размеры Нормальной Земли. Из этих постоянных только геоцентрическая гравитационная постоянная GM является стоксовой постоянной Земли и поэтому однозначно определяется по измерениям. Остальные постоянные нулевого по­ рядка - полуоси а и Ъ эллипсоида, сила тяжести уе на его экваторе, потенциал U0 на поверхности эллипсоида не существуют у реаль­ ной Земли, имеющей сложную и неуровенную физическую поверх­ ность, которую невозможно описать одним единственным пара­ метром. Обычно стараются получить эти постоянные так, чтобы Нормальная Земля была близка к геоиду.

Рассмотрим принципы определения основных постоянных ну­ левого порядка.

Определение геоцентрической гравитационной постоянной

Геоцентрическую постоянную можно определить как по назем­ ным измерениям, так и методами космической геодезии.

Использование наземных измерений основано на формуле (3.11) Грина для потенциала силы тяжести. Положив в этой формуле гар­ моническую функцию Г равной единице, находим

AnGM = 2 й)2 Г с / т —Ш - άГ Σ ,

Ji dn

τΣ

129

производная потенциала W вычислена по нормали к физической поверхности Земли и является проекцией силы тяжести на направ­ ление внешней нормали

= gcos(g,n).

an

Для геоцентрической постоянной получаем

τΣ

Согласно выражению (5.1), для нахождения GM нужно знать поверхность Σ Земли и значения силы тяжести g во всех точках этой поверхности.

Способ определения геоцентрической постоянной по наблюде­ ниям космических летательных аппаратов (КЛА) основан на зако­ не сохранения энергии. Если расстояние КЛА от Земли достаточ­ но велико, можно для потенциала земного притяжения использо­ вать выражение (3.6), т.е. считать Землю материальной точкой или шаром с центрально-симметричным распределением плотности. По­ ложим, что влияние других небесных тел и возмущающих эффек­ тов исключено, тогда для энергии КЛА, рассматриваемого как эле­ ментарная частица, справедливо выражение

Му2 GM

-----= const,

(т +М )2 г

где т - масса КЛА; v - его скорость. Поскольку масса КЛА пре­ небрежимо мала по сравнению с массой Земли, последнее выраже­ ние записывают в виде

h

Этим способом получены наиболее точные значения GM.

130

Принцип определения геоцентрической постоянной по наблю­ дениям спутников Земли поясним с помощью рис. 5.1. Предполо­ жим, что спутник движется в центральном поле по круговой орби­ те радиуса г с угловой скоростью п. Сила F притяжения Земли, удер­ живающая спутник, равна центробежной силе Р, вызванной вращением спутника вокруг Земли

или

Рис. 5.1. К определению геоцентрической гравитационной постоянной

Это равенство является третьим законом Кеплера для круговой орбиты. Поскольку поле Земли не является центральным, орбиты ее спутников - сложные траектории, а на спутники Земли действуют также притяжение других небесных тел и негравитационные силы, равенство (5.3) для реальных условий имеет очень сложный вид. При­ ближенно его можно написать в виде соотношения

где п - средняя угловая скорость движения спутника, которую на­ зывают средним движением; ас - большая полуось его орбиты; δ - поправочный член, учитывающий все отклонения в движении спутника от движения в центральном поле.

Уравнение (5.4) лежит в основе определения GM как по наблю­ дениям ИСЗ, так и по наблюдениям отражателей, установленных на поверхности Луны.

Определение потенциала WQна уровне моря

Потенциал W0можно определить как интегральное среднее зна­ чение потенциала, вычисленного на морской топографической по­ верхности (МТП).

131

Добавим к потенциалу притяжения (3.8) потенциал центро­ бежной силы (3.24) и запишем формулу для потенциала силы тяже­ сти в виде

(5.5)

+Σ -I Σ(ίпк cos kL + snk sin кЦР*(Ф) п=2 4=0

где спк, sпк- безразмерные коэффициенты, связанные с коэффициен­

тами АКп,В кп соотношениями

параметр т определен формулой (3.45). Интегрируя по МТП S, находим

Если бы океан покрывал всю поверхность Земли, после интег­ рировании вследствие ортогональности сферических функций ос­ тался бы только член нулевой степени и выражение (5.7) приняло бы вид

Следовательно, для нахождения W0 необходимо знать постоян­ ную GM, угловую скорость ω вращения Земли, входящую в пара­

132

метр m, и радиус-вектор г морской топографической поверхнос­ ти. Первые две величины известны в настоящее время с высокой точностью, поэтому основная сложность нахождения потенциала на уровне моря связана с определением поверхности S Земли.

Высоты МТП в настоящее время определяют уверенно методом спутниковой альтиметрии. Сложнее обстоит дело на континентах. Здесь геоид не является внешней уровенной поверхностью. Внутри Земли потенциал силы тяжести описывают иные аналитические вы­ ражения, и применение формул (5.5), (5.7) означает, что на суше ис­ пользован не реальный потенциал силы тяжести, а его аналитичес­ кое продолжение. Высоты геоида также в этом случае не определи­ мы. Приближенно их можно оценить по аномалиям высоты ζ. Тогда для радиуса-вектора поверхности S на суше получим

где р - радиус-вектор эллипсоида.

При определении потенциала W0 возможно в выражении (5.7) ограничиться интегрированием только по поверхности океана. В этом случае сферические функции не ортогональны и для вычисле­ ния потенциала нужно знать коэффициенты спк, snkразложения по­ тенциала, а точность определения потенциала на уровне моря бу­ дет зависеть от площади S осреднения.

Определение большой полуоси а

В главе 3 было показано, что поле уровенного эллипсоида вра­ щения полностью определяется четырьмя параметрами и все фун­ даментальные постоянные связаны между собой. Поэтому полуоси а, Ъ земного эллипсоида после нахождения фундаментальных по­ стоянных GM, со, U0= Waможно вычислить по формулам (3.90), (3.92). В этом случае они определяются независимо от линейно-угловых геодезических измерений на поверхности Земли.

Другой способ определения большой полуоси - градусные из­ мерения. Принцип градусных измерений и исторические сведения о них изложены в главе 1. Рассмотрим определение большой полу­ оси из градусных измерений подробнее.

Пусть в исходном пункте астрономо-геодезической сети геоде­ зические координаты В°; Ц и азимут А° исходной стороны в си­ стеме известного референц-эллипсоида равны астрономическим

Решая прямую геодезическую задачу, по измеренным длинам S и азимутам А геодезических линий можно найти приращения В,

133

L геодезических координат и геодезические координаты пунктов, суммируя приращения АВ, L по тем или иным линиям

верхний индекс «О» указывает, что все координаты относятся к принятому эллипсоиду. После этого для всех астропунктов опреде­ лены астрономо-геодезические уклонения отвеса

В формулах (5.11), (5.12) i - номер астропункта.

Найдем теперь геодезические координаты на новом эллипсои­ де, подлежащем определению. Результаты измерений при этом счи­ таем неизменными. Это означает, что одну и ту же геодезическую сеть укладывают (развертывают) на поверхности двух разных эл­ липсоидов - сначала на эллипсоиде с известными значениями боль­ шой полуоси а0 и сжатия а0, а затем на эллипсоиде с параметрами

Такой метод обработки геодезических измерений называют ме­ тодом развертывания.

Геодезические координаты Bt\ Ц при переходе к новому эллип­ соиду изменятся:

A =B°+dB = В° + ^ -d a + T— da, 1 1 1 да да

Ц = Ц +dL = Ц +— da + — da. да да

„^ дВ дБ dL dL

Значения коэффициентов — ; — ; — вычисляют с ис-

да да да да

пользованием параметров исходного эллипсоида; выражения для вычисления этих коэффициентов известны.

Найдем уклонения отвеса ξ(; ц, относительно нормалей к ново­ му эллипсоиду

ξί=φ,-Βί=φ,-Β° - Гдв у d a - д в у da,

\ Ъ ал

134

Введем в эти выражения уклонения отвеса относительно нор­ малей к исходному эллипсоиду

Эти уравнения являются уравнениями погрешностей, а уклоне­ ния отвеса ξ °, - свободными членами уравнений. Решая их под условием

находят поправки к первоначально принятым значениям сжатия и большой полуоси.

Уравнения (5.14) - (5.16) не обязательно решать под условием (5.16). Если вычислить топографо-изостатические уклонения отве­ са и вычесть их из обеих частей уравнений (5.14), (5.15), то вместо этих уравнений получим

Свободными членами теперь являются разности

в которых влияние местных уклонений отвеса ослаблено. Поэтому предположение о случайном характере разностей уклонений отве­ са является более обоснованным по сравнению с предположением о случайном характере астрономо-геодезических уклонений отве­ са, и можно надеяться, что найденный под условием

эллипсоид будет в целом лучше представлять поверхность геоида.

135

В 1909 г. таким путем параметры эллипсоида определил Хейфорд по градусным измерениям США. Им были вычислены топог- рафо-изостатические уклонения отвеса для трех значений (113,7, 120,9, 162,2 км) глубины компенсации и для каждого случая найде­ ны параметры эллипсоида. Кроме того, Хейфорд нашел парамет­ ры эллипсоида по астрономо-геодезическим уклонениям отвеса, что соответствует глубине компенсации Т = 0, и разностям астроно­ мо-геодезических и топографических уклонений, т.е. для Т = ©о. Ре­ зультаты исследований Хейфорда приведены в таблице 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Топографо-изостатические уклонения отвеса и параметры эллипсоида

Оказалось, что параметры эллипсоида практически не зависят от глубины компенсации. Существенно отличные результаты дают две первые строки таблицы 5.1. Согласно выражению (4.25) глуби­ на компенсации Т = °о означает, что плотность компенсирующих масс равна нулю, т.е. поправки за компенсацию не вводится, и в уравнениях градусных измерений использованы разности астро­ номо-геодезических и топографических уклонений отвеса, т.е. из астрономо-геодезических уклонений отвеса исключено притяжение всех топографических масс Земли. Неудовлетворительные значения полуоси и сжатия, полученные в этом случае свидетельствуют о наличии изостатической компенсации земной коры.

Значение Т = 0 согласно выражению (4.24) означает, что про­ изведение Ηδ0равно нулю, т.е. влияние топографических масс от­ сутствует, и никакие поправки в астрономо-геодезические уклоне­ ния отвеса не вводятся. Этот вариант наиболее близок современ­ ным значениям параметра эллипсоида. Тем не менее Международная ассоциация геодезии в 1924 г. на Генеральной ассамблее в Мадри­ де рекомендовала в качестве международного эллипсоид Хейфор-

136

да, соответствующий Т= 120,9 км. Этот эллипсоид до недавнего времени использовали как отсчетный эллипсоид в Европейской системе координат.

Топографо-изостатические уклонения отвеса использованы так­ же А.А. Изотовым (1908-1989) при выводе эллипсоида Красовско­ го. К этому времени (к середине 30-х гг. XX в.) уже появилась воз­ можность вычисления гравиметрических уклонений отвеса: в 1927 г. Венинг-Мейнес получил необходимую формулу (4.16), и в СССР

частично уже была выполнена гравиметрическая съемка. В уравне­ ниях (5.17), (5.18) Изотов использовал гравиметрические уклоне­ ния отвеса для тех астропунктов СССР, вокруг которых была гра­ виметрическая съемка, и в качестве свободных членов использовал разности

отвеса. Для остальных астропунктов использованы топографо-изо­ статические уклонения отвеса. Уравнения (5.17) и (5.18) решают под условием

где Αξ и Αη определены или формулой (5.19), или формулой (5.21). Если строение земной коры известно и тщательно учтено при вычислении топографо-изостатических уклонений отвеса, они дол­ жны совпадать с гравиметрическими, которые опытным путем ус­ танавливают влияние всех масс Земли. Поэтому совместное исполь­ зование при выводе параметров эллипсоида гравиметрических и

топографо-изостатических уклонений отвеса оправдано.

Вывод Изотова был последним определением параметров зем­ ного эллипсоида по линейно-угловым наземным измерениям. В на­ стоящее время такой метод определения эллипсоида не применяют.

Впоследствии в уравнениях градусных измерений в качестве свободных членов стали использовать не уклонения отвеса, а ано­ малии высоты. В число неизвестных этих уравнений кроме вели­ чин, определяющих форму и размер эллипсоида, включали коорди­ наты х0, у0, ζ0 центра масс, задающие ориентировку референц-эл- липсоида внутри Земли. Уравнением градусных измерений такого типа является выражение (4.41).

Координаты х0, у0, ζ0 называют внутренними элементами ориен­ тирования референцной системы.

Разность астрономо-геодезической и гравиметрической анома­ лии высоты можно получить с помощью формулы (2.16) преобра­

137

зования геодезических координат. Геодезическая высота равна сум­ ме нормальной высоты и аномалии высоты, а нормальная высота не зависит от выбора эллипсоида, поэтому разность геодезических высот относительно общего земного и референц-эллипсоида равна разности аномалий высот

ΐΡ βφ - Н03 = (Н7 + %еф) -

~(ΗΎ+ ζ,3)= (Ιίγ + ζΑΓ) - (Я7 + tf) = ζρβφ - ζ03 = ζΑΓ - ζΓ. (5.23)

Примем в формуле (2.16) dH = ζΑΓ- ζΓ; dx = χ0; dy = y0; dz = z0, тогда

ξ ΑΓ ~ ξ Γ = - ( а - я ) + -1[е2 ( я - я ) + а(е2 - e 2 )]sin2 В +

В уравнениях (4.41) и (5.24) свободные члены - разности астро­ номо-геодезических и гравиметрических аномалий высот - получа­ ют по наземным измерениям. Посмотрим, как будут выглядеть эти уравнения при использовании спутниковых наблюдений.

Рассмотрим принцип определения полуоси общего земного эл­ липсоида. Сжатие а и эксцентриситет е2 общего земного эллип­ соида надежно определяется по значениям параметров G(C-A) или J2 на основании соотношений (3.85) и (3.87), (3.88) между парамет­ рами нормальной Земли, поэтому считаем их известными.

Геодезическую высоту над общим земным эллипсоидом можно получить как сумму нормальной высоты и гравиметрической ано­ малии высоты. Спутниковый метод дает геоцентрические координа­ ты X , Г, Z станции наблюдения ИСЗ, зная которые можно вычис­ лить геодезические координаты относительно любого эллипсоида.

Выберем приближенное значение а полуоси и найдем геодези­

Величина Q - расстояние точки от малой оси эллипсоида - определена формулой (2.9).

138

Запишем теперь выражение для геодезической высоты Н над общим земным эллипсоидом с параметрами а, е

При фиксированном значении сжатия эллипсоида, т.е. при по­ стоянном значении ё, широта практически не зависит от величи­ ны полуоси. Действительно, положив в формуле (2.16) dX = dY - - dZ - de2= 0 и Μ + Η = α, найдем

(5.27)

Даже для da = 300 м изменение широты составит всего 0,03". Поэтому в выражениях (5.25), (5.26) первые два члена будем счи­ тать одинаковыми и для разности геодезических высот одной и той же точки над двумя эллипсоидами получим

(5.28)

Это уравнение также является уравнением градусных измере­ ний. Согласно ему, поправку (а - а) к принятому значению полу­ оси общего земного эллипсоида можно найти по наблюдениям все­ го в одной точке поверхности Земли. В действительности полуось эллипсоида определяют из совместной обработки измерений на всех имеющихся станциях наблюдения ИСЗ, рассматривая формулу (5.28) как уравнение погрешностей.

Сопоставим уравнения (5.24) и (5.28). Перепишем предваритель­ но уравнение (5.28) в виде

При такой записи становится ясно, что уравнение (5.28) яв­ ляется частным случаем уравнения (5.24) при (е1 - ё2) =0; х0 = Уо = = z0 = 0. Существенное отличие уравнений (5.24) и (5.28) обуслов­ лено их свободными членами: если в первом из них это разность ζΑΓ- ζΓ, определяемая только по наземнымданным, то во втором свободным членом является разность Н - Н геодезических высот, найденных по спутниковым данным и наземным измерениям в со­ ответствии с равенством (4.9).

Такова эволюция градусных измерений за два с четвертью тыся­ челетия. С середины III в. до н.э. и до конца XVI в. Землю считали шаром, а ее уровенную поверхность - сферой, поэтому для опреде­

139

ления поверхности Земли было достаточно одного параметра - ра­ диуса R (см. рис. 1 и формулу (1)). В течение всего XVIII в. уровенная поверхность считалась эллипсоидом, и уравнения градусных изме­ рений включали два параметра - большую полуось а и сжатие а В конце XVIII в. стало ясно, что уровенная поверхность отличается от эллипсоида, и в геодезию вошел геоид. На протяжении XIX в. и пер­ вой половины XX в. основная задача геодезии состояла в определе­ нии геоида, а в уравнения градусных измерений стали включать ве­ личины, характеризующие отступления геоида от эллипсоида - ук­ лонения отвеса или высоты геоида. С появлением ИСЗ отпала необходимость определения сжатия по градусным измерениям, и ныне в эти уравнения вновь входит только один параметр - боль­ шая полуось эллипсоида. Однако теперь это стало возможным не из-за упрощенного представления поверхности Земли, а потому, что сложная поверхность Земли уже известна и речь идет только об ее аппроксимации простой поверхностью эллипсоида вращения.

§ 30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОКСОВЫХ ПОСТОЯННЫХ ЗЕМЛИ

(КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА)

Коэффициенты спк\ sm разложения потенциала притяжения

находят или по спутниковым данным, или по наземным измерениям. Первый способ основан на зависимости элементов орбиты ИСЗ от особенностей гравитационного поля. Если бы поле Земли было

центральным и потенциал определен выражением (3.6), спутник двигался бы по кеплеровой орбите с неизменными элементами. Отличие

потенциала притяжения от центрального вызывает возмущения элементов орбиты с течением времени, по наблюдениям которых можно найти коэффициенты спК\ snK разложения возмущающего потенциала

140

В этом ряде суммирование начинается с п = 2 потому, что фо­ кус орбиты ИСЗ находится в центре масс Земли, а в геоцентричес­ кой системе координаты центра масс, определяемые стоксовыми постоянными первой степени, равны нулю.

Поскольку согласно выражению (5.30) влияние членов ряда при возрастании п убывает обратно пропорционально гп+\ члены вы­ соких порядков на больших высотах над Землей пренебрегаемы. Поэтому, с одной стороны, для прогнозирования орбит высоких спутников достаточно ограничиться учетом сравнительно низких степеней разложения, а с другой стороны, по спутниковым дан­ ным возможно найти только коэффициенты разложения началь­ ных степеней. В связи с этим спутниковые модели описывают об­ щие (глобальные) особенности поля и могут быть даже ориенти­ рованы на обеспечение прогнозирования движение конкретного спутника.

Точность определения коэффициентов разложения по сфери­ ческим функциям или гармонических коэффициентов неодинакова. Наиболее уверенно определяются четные зональные коэффициен­ ты низких степеней, вызывающие вековые возмущения угловых элементов орбиты. Так, например, изменение долготы восходяще­ го узла Ω связано с коэффициентом J2соотношением [15]

эксцентриситет и наклонение орбиты ИСЗ соответственно; Ω - прямое восхождение восходящего узла.

Внастоящее время коэффициенты низких степеней определены

свысокой точностью. Поэтому первичные фундаментальные по­ стоянные G(C - А) и параметр J2 можно считать известными.

Для практического удобства ряды (5.29), (5.30) вводят норми­ рованные полиномы Лежандра Ρ ^ίηΦ ), Pnk(Ф), определяемые по

141

Коэффициенты при нормированных полиномах будем обозна­ чать чертой сверху. Согласно выражениям (5.31) имеем

Вывод коэффициентов разложения потенциала притяжения по наблюдениям ИСЗ детально изложен в курсе космической гео­ дезии.

Рассмотрим второй путь получения коэффициентов разложе­ ния потенциала, основанный на измерениях силы тяжести. При ис­ пользовании наземных измерений исходными величинами служат смешанные аномалии силы тяжести, получаемые как по гравимет­ рическим наблюдениям, так и выводимые методом спутниковой альтиметрии по измерениям высот морской топографической по­ верхности. Представим на поверхности Земли, принимаемой за сферу радиуса г = ае, аномалии силы тяжести рядом сферических функций

где gn - сферическая функция степени n в разложении аномалии силы тяжести; апк,Ьпк - коэффициенты разложения. Для их нахож­ дения можно составить уравнение (5.33) для каждой точки с извес­ тным значением аномалии Ag, ограничившись выбранным числом удерживаемых членов, и, рассматривая эти уравнения как уравне­ ния погрешностей, найти искомые коэффициенты. Такой метод не требует измерений по всей поверхности Земли. Формально доста­ точно иметь столько значений исходных аномалий Ag, сколько определяемых коэффициентов. Но полученный результат будет сильно зависеть от выбора исходных точек и не позволит полу­ чить коэффициенты, характеризующие гравитационное поле всей Земли. Такой метод вывода коэффициентов применяли, когда не было мировой гравиметрической съемки.

Другой принцип определения коэффициентов разложения ис­ пользует свойство ортогональности сферических функций, на ос­ новании которого получают такие выражения

142

где ω - поверхность единичной сферы. Коэффициенты разложе­ ния в этом случае определяют независимо друг от друга, но для применения формулы (5.35) необходима гравиметрическая съемка всей поверхности Земли. При практическом определении коэффи­ циентов интеграл вычисляют численно и используют осредненные на трапециях Δω, выбранных размеров аномалии gt

где N - число трапеций.

Установим связь коэффициентов разложений потенциала и ано­ малий силы тяжести. Исключив из потенциала Анормальное поле,

Гл=2 \ Г ) A:=0

где c*k - cno - c°0 - для четных зональных коэффициентов, с*к = спк - для всех остальных, с°по - коэффициенты разложения нормального потенциала.

Согласно выражению (4.12), смешанная аномалия силы тяжес­ ти связана с аномальным потенциалом равенством

143

Положим GM/R2= γ \ ae/ R - 1 и сопоставим ряды (5.33) и (5.38). Приравнивая коэффициенты при сферических функциях одинаковой степени и порядка, находим искомую связь коэффициентов разложе­ ния смешанных аномалий силы тяжести и аномального потенциала

Это соотношение коэффициентов справедливо в том случае, если при вычислении аномалий силы тяжести и аномального потенциа­ ла использовано одно и то же нормальное поле. Из формул (5.39) видно, что в разложении смешанных аномалий силы тяжести от­ сутствует сферическая функция первой степени. Сферическая фун­ кция нулевой степени в разложении аномалии может присутство­ вать, если используемое при вычислении аномалий силы тяжести значение экваториальной постоянной уе не соответствует приня­ тому при вычислении аномального потенциала значению GM.

Для нахождения коэффициентов разложения потенциала иног­ да используют представление потенциалом системы материальных точек

где т( - масса точки с номером ι; η - ее расстояние до точки, где определяется потенциал SV\ j - число точечных масс (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Потенциал точечной массы

Точечные массы можно помещать как на поверхности, так и внутри Земли. Разложив функцию II rt в ряд по степеням отноше­ ния 1/г, можно получить

(5.41)

- 1 - | ; F / ( 0 , . ) P / ( 0 ) COSA:(L-L,.).

2и + 1^

144

Сопоставляя коэффициенты при одинаковых степенях в рядах (5.30) и (5.41), получим

где /,;Ф,; Lt - геоцентрические координаты точечной массы.

Обычно для определения коэффициентов разложения потенци­ ала используют как наземные, так и спутниковые данные. Суще­ ствует целый ряд процедур комбинации этих данных. При этом возможны два принципиально разных подхода. В одном из них наземные и спутниковые измерения сразу обрабатывают совмест­ но. Во втором сначала получают раздельно коэффициенты разло­ жения по каждому виду измерений, а затем проводят совместное уравнивание. Поясним принцип обеих методик.

Совместная обработка результатов измерений. Запишем резуль­ таты измерений в виде:

-для наземных данных

-для спутниковых

qj= F 2O 0 \X ,Y ,Z - c nk,snk).

Вид функции F{определен формулой (5.33) и зависимостью (5.39) между коэффициентами разложения аномалий силы тяжести и по­ тенциала, при этом с00 - разность коэффициентов нулевой степе­ ни действительного и нормального потенциалов, определяющая поправку к принятому при вычислении аномалий силы тяжести значению экваториальной постоянной уе. В функции F2 ЭО - эле­ менты орбиты; X, У, Z - координаты станции наблюдения ИСЗ; ^ результат измерения. Используя приближенные значения коэффи­ циентов разложения, элементов орбиты и координат станций, со­ ставляют уравнения поправок:

- для наземных измерений

V/ = F\ (с00, Cn k , s„k) - Ag, + F, (δδ00, 5cnk, 5snk),

145

- для спутниковых

+ Р2[ЭО, X, У, Z, сиА,

Неизвестные δ с00,8 cnk,S snk,S 30,δ Χ ,δ Υ ,δ Z делятся на три группы: δ с00 относится только к наземным измерениям; δ X, δ Υ, δ Ζ - только к спутниковым; δ спк,δ snk - и к наземным, и к спут­ никовым.

Записанные уравнения решают совместно под условием

[pv2] = min,

применяя методику двухгруппового уравнивания, и находят по­ правки к принятым значениям величин.

Совместное уравнивание коэффициентов разложения. В этом способе сначала раздельно находят коэффициенты разложения по­ тенциала или аномалий силы тяжести по спутниковым и по назем­ ным измерениям. Затем эти коэффициенты обрабатывают совмес­ тно. На этом этапе также возможны два варианта решения. В од­ ном из них поправки к полученным раздельно на первом этапе коэффициентам определяют как для спутникового, так и для на­ земного решения. Во втором спутниковые коэффициенты оставля­ ют неизменными, а уравнивают только коэффициенты наземных выводов.

Поясним принцип объединения коэффициентов разложения. Пусть имеется система коэффициентов апк, Ъпк , выведенных соглас­ но формуле (5.36) по осредненным на площадках Δω выбранного размера аномалиям силы тяжести Agh и система коэффициентов cnk,snk, полученных по спутниковым данным; с использованием формул (5.39) от ко эф ф и ц и ен то в^,^, разложения потенциала переходят к «спутниковым» а пкс , Ъспк коэффициентам разложения аномалий силы тяжести. Аномалии Agt и коэффициенты а„к,Ь„к рассматривают как измеренные. _

Введем поправки δAg{, 5аспк, SbLnk к измеренным величинам и на­ пишем уравнение связи их исправленных значений для коэффици­ ентов аспк

146