Считая gm равной среднему значению из g и g0, имеем

плотность <5, вертикальный градиент dgldH силы тяжести и ортометрическую высоту i f . Ни одна из этих величин по измерениям на поверхности Земли не определяется.

Положим вертикальный градиент реальной силы тяжести рав­ ным нормальному

- ^ - = -^ - = -0,3086 мгл/м, dH dH

плотность δ равной средней плотности земной коры 2,67 г/см3, тогда

gm = g - 0,04195Hg +0,3086 - γ = g + 0,0424#*,

и для ортометрической высоты получаем

Вычисленные по этой формуле высоты называют высотами Гельмерта.

При перемещении по уровенной поверхности, на которой по­ тенциал постоянен, геопотенциальное число также будет посто­ янно. Однако сила тяжести на уровенной поверхности изменяет­ ся. Поэтому ортометрическая высота на уровенной поверхности не постоянна.

§ 41. НОРМАЛЬНАЯ ВЫСОТА И АНОМАЛИЯ ВЫСОТЫ

Понятие нормальной высоты было дано в главе 4 при уста­ новлении связи натуральной и нормальной систем координат как высоты над эллипсоидом такой точки, которая лежит на одной силовой линии к эллипсоиду с точкой поверхности Земли и для

204

которой нормальное геопотенциальное число U0 - U равно дей­ ствительному. Поясним это определение. В основе системы нор­ мальных высот лежит условие

которое означает, что в нормальном гравитационном поле нахо­ дят такую точку, в которой приращение нормального потенциа­ ла от эллипсоида равно геопотенциальному числу.

Рассмотрим рис. 7.3. Здесь нормальная высота точки Р - это отрезок PjP7 нормальной силовой линии от эллипсоида до уровенной поверхности нормального поля, на которой потенциал U принимает значения

р

U = U0 -\gdh.

О

Иными словами работа, которую нужно выполнить в нор­ мальном поле, чтобы подняться от эллипсоида к точке Рг, в точ­ ности равна той работе, которую нужно выполнить в реальном поле силы тяжести при перемещении по поверхности Земли от точки О к точке Р. Поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка Рг находится неда­ леко от точки Р и расстояние Р7? - аномалия высоты - будет малой величиной.

Р

Рис. 7.3. Нормальная высота и аномалия высоты

205

Получим формулу для нормальной высоты Я 7. Аналогично формуле (7.7) для элементарной разности нормальных высот мож­ но написать

dU = - ydtF,

где dH γ - расстояние между уровенными поверхностями нормаль­ ного поля; у - нормальная сила тяжести.

Разность нормальных потенциалов точек Pj и Р7

РУ РУ

U0- U = \γΙΗ ? =γ,„ jdH * =YmH* =W0 - W ,

p\ P\

откуда

Η γ = W - W (7.15)

Эта формула получена в 1951 г. В.Ф.Еремеевым (1904—1985). В двух последних формулах ут - среднее интегральное значение силы тяжести на отрезке PjP7. Согласно выражению (3.69), при неболь­ ших высотах над Землей нормальная сила тяжести меняется по линейному закону, поэтому интегральное среднее ут равно значе­ нию нормальной силы тяжести в точке P7W, в середине отрезка PjP7 на высоте Н7/2 над эллипсоидом

(ду / дН)0 - вертикальный градиент нормальной силы тяжести. Согласно этой формуле, для вычисления ут нормальная высо­

та уже должна быть известна, поэтому вычисления по формуле (7.15) выполняют приближениями.

Подчеркнем, что нормальная высота определяется только по результатам измерений на физической поверхности Земли; в свя­ зи с этим ее можно рассматривать как измеренную величину. От распределения масс внутри Земли эта высота не зависит. Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным, нормаль­ ные высоты были бы равны геодезическим. Согласно рис. 7.3 сумма нормальной высоты и аномалии высоты ζ = РФ дает геодезичес­

206

Напомним, что в соответствии с выполненной в § 19 оценкой при определении высоты мы не делаем различие между нормалью к эллипсоиду и нормальной силовой линией.

Для аномалии высоты ζ в главе 4 получено выражение (4.8), в котором среднее значение нормальной силы тяжести на от­ резке рУр

(7.18)

Если от каждой точки поверхности эллипсоида отложить вверх по направлению нормали к нему нормальную высоту, получится поверхность, которую называют поверхностью Земли первого при­ ближения, теллуроидом (от латинского «tellus (telluris)» - Земля) или гипсометрической поверхностью (от греческого «hypsos» - вы­ сота).

Если же нормальные высоты отложить по нормали к эллипсо­ иду от каждой точки поверхности Земли вниз, то геометрическое место точек концов этих отрезков образует поверхность, кото­ рую называют квазигеоидом1. Очевидно, что высота квазигеоида над эллипсоидом равна аномалии высоты.

Нормальная высота и аномалия высоты логически связаны между собой. В теории Молоденского сначала по измеренным нормальным высотам, откладывая их по нормалям от поверхно­ сти эллипсоида, определяют поверхность Земли первого прибли­ жения (теллуроид). Затем находят аномальный потенциал из ре­ шения краевой задачи, в которой краевой поверхностью является теллуроид, а краевым условием служит выражение (4.12).

Нормальные высоты, так же как и ортометрические, изменя­ ются на уровенной поверхности из-за изменения нормальной силы тяжести. Однако, так как нормальная сила тяжести не зави­ сит от долготы, нормальные высоты на уровенной поверхности постоянны вдоль параллели и изменяются только при изменении широты. Ортометрические высоты на уровенной поверхности изменяются при смещении в любом направлении.

1 От латинского quasi - якобы, как будто; в сложных словах означает «почти», «ненастоящий». Квазигеоид - «почти геоид», высота над квазигео­ идом -почти ортометрическая (квазиортометрическая).

207