§ 57. ВЫЧИСЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА ПО ДИСКРЕТНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

При нахождении аномального потенциала по дискретным из­ мерениям реальное аномальное поле заменяют полем, создаваемым распределенными на некоторой внутренней поверхности массами. Возможность такой замены основана на следующем: известно, что аномальный потенциал Т реальной Земли с точностью до любого сколь угодно малого ε можно представить потенциалом Т , гармо­ ническим вплоть до некоторой поверхности внутри Земли и удов­ летворяющим условию

где Т(Р) и Т(Р) - значения реального и аппроксимирующего по­ тенциалов в точке Р поверхности Земли соответственно. Согласно этому в 1963 году независимо друг от друга российский геофизик В.И. Аронов и шведский ученый А. Бьерхаммар разработали ме­ тод определения аномального поля по дискретным измерениям на поверхности Земли, в котором это поле аппроксимируется масса­ ми, лежащими на внутренней поверхности. В качестве такой по­ верхности в методе Аронова использована плоскость, в методе Бьерхаммара - сфера.

Рассмотрим принцип метода Аронова. В точке Р (рис. 8.8) по­ верхности S Земли измерена аномалия Agpсилы тяжести, δΗ- ошибка измерения. В точках i вспомогательной плоскости σ, проходящей на глубине ζ' под точкой с наименьшей высотой, расположены при­ тягивающие массы. Эти массы создают аппроксимирующий потен­ циал Т . Для плоской отсчетной поверхности аномалия силы тяже­ сти связана с аномальным потенциалом равенством

(8.91)

и также является функцией гармонической вне масс; ось ζ направ­ лена противоположно направлению силы тяжести. Производная ΤΖ(Ρ) аномального потенциала Т(Р) может быть с точностью до любого сколь угодно малого δ представлена производной Τζ (Р) потенциала Т(Р ), создаваемого расположенными на внутренней плоскости σ массами. Поскольку измерения всегда проводят с не­ которой ошибкой δΗможно считать, что на поверхности Земли выполняется условие

267

ζ

σ

Рис. 8.8. Положение вспомогательной плоскости внутри Земли

В точках поверхности Земли аномалии Agp можно представить линейной функцией

(8.93)

где x t- неизвестные постоянные, определяющие массы несущих то­ чек i; R(p,i) - функция расстояния между элементом Δσ плоскости а; на котором расположена точка /, и точкой Р, в которой произ­ ведены измерения.

Постоянные xi нужно определить так, чтобы гравитационный эффект распределенных на плоскости σ (рис. 8.9) масс с заданной точностью δ0 совпал с измеренными значениями ΤΖ(Ρ) на множе­ стве пунктов Р наблюдения

(8.94)

Рис. 8.9. Подбор эквивалентного аномального поля

268

При практической реализации метода в качестве элементов Δσ удобно использовать сетку квадратов со стороной h, равной сред­ нему расстоянию между пунктами наблюдений, а значения неизве­ стных х,· определять из решения системы линейных уравнений

где F= TZ(P) -измеренные значения; X - матрица неизвестных х,.; А - матрица, элементами которой являются известные функции

R(p,i)·

В качестве измерений TZ(P) можно использовать значения любых элементов аномального поля. Поскольку чаще всего в распоряжении имеют аномалии силы тяжести, применим описанный метод к этому случаю. На внутренней плоскости можно расположить несущие то­ чечные массы, простой слой с кусочно-постоянной плотностью или систему аномалий силы тяжести. Рассмотрим эти варианты.

Представление аномального поля системой точечных масс. На плоскости σ под поверхностью Земли равномерно распределяют несущие точки, массы т, которых неизвестны (см. рис. 8.8—8.9). На поверхности Земли измерены аномалии Agp. Потенциал, создавае­ мый точечными массами, имеет вид

GtH:

Τ(Ρ) = Σ г (8.96)

.

где N - число точечных масс; rpi - расстояние от измерительной точки до несущей точечной массы; G - постоянная тяготения.

Для плоской отсчетной поверхности аномалии Ag силы тяжес­ ти связаны с потенциалом соотношениями

Уравнение (8.97) аналогично (8.93), неизвестными х, являются произведения Gmh а коэффициенты таковы

гр>

Уравнение (8.97) можно написать для всех точек Р с измерен­ ными значениями аномалий Agp и получить систему линейных урав­ нений, аналогичную (8.95), для нахождения неизвестных масс несу­ щих точек.

269

Представление аномального поля потенциалом простого слоя

Аномальный потенциал можно искать в виде потенциала про­ стого слоя

распределенного на внутренней плоскости σ, где μ - поверхност­ ная плотность слоя. Если выбрать слой кусочно-постоянной плот­ ности, для которого плотность на каждом квадрате Δσ постоянна и равна μ, вместо равенства (8.99) можно записать

такая же, как и в выражении (8.97) и определена формулой (8.98).

Представление аномального поля аномалиями силы тяжести на внутренней плоскости

Предположим, что на вспомогательной плоскости аномалии силы тяжести известны и равны Ag* (см. рис. 8.9^ Тогда, применяя интеграл Пуассона к гармонической функции Ag, для аномалии силы тяжести в точках поверхности Земли можно записать

Т _ z + z' ГAg* ,

σ

Если считать аномалию силы тяжести постоянной в пределах каждого квадрата Δσ и равной Ag*,·, то вместо уравнения (8.102) получим систему уравнений

1 . * .

где x, = 2 ^ Α8 ι Δσ , a R(pi) то же, что и в двух предыдущих случаях.

270

Системы (8.97), (8.101) и (8.103) эквивалентны. Согласно этим системам между массами несущих точек, плотностью простого слоя и аномалиями на внутренней плоскости существуют соотношения

(8.104)

а плотность слоя и аномалии силы тяжести связаны равенством

(8.105)

Системы (8.97), (8.101) и (8.104) аналогичны (8.95), являются линейно независимыми и могут быть решены любым способом.

В случае, когда число N определяемых неизвестных равно числу измеренных аномалий, из решения систем будут найдены такие зна­ чения искомых величин, для которых вычисленные аномалии точ­ но совпадут с измеренными. Поскольку исходные аномалии содер­ жат ошибки, эти ошибки полностью войдут в определенные таким образом значения постоянных и решение будет зависеть от набора исходных данных.

Решение системы (8.95) встречает серьезные трудности при практической реализации, поскольку приводит к необходимости обращения больших матриц, а коэффициенты системы (элементы матриц) при плотной съемке близки между собой, особенно если съемка расположена в равнинном районе и высоты ζ над плоско­ стью постоянны. Это приводит к тому, что система (8.95) является плохо обусловленной. Поэтому преимущество имеют итерацион­ ные методы решения системы. Возможно построить процесс вы­ числений по такой схеме

Хп+1 = Х„+Ь Sn+l = F - A X n+].

Согласно этой схеме в начальном приближении искомые неиз­ вестные полагают равными измеренным и находят поправки <51? соответствующие такому предположению. Затем получают уточ­ ненные значения неизвестных с учетом этих поправок. Процесс приближений продолжают до тех пор, пока разность измеренных и вычисленных аномалий силы тяжести не достигнет некоторого значения δ09 назначаемого по правилу

где δη - ошибка измерения аномалии.

271

Таким образом, при итерационных методах на внутренней плос­ кости подбирается такая функция, которая при аналитическом продолжении в точки наблюдения совпадает с измеренными значе­ ниями.

Величина точечных масс и число приближений зависят от глуби­ ны ζ/плоскости. Чем больше г, тем глубже массы и тем больше они должны быть для объяснения наблюденных аномалий силы тяжес­ ти; но при увеличении масс растет их взаимное влияние друг на дру­ га, поэтому при изменении даже одной исходной аномалии все несу­ щие массы изменяются, то есть решение становится неустойчивым. Если же несущие массы помещать на небольшой глубине, то массы будут меньше, и взаимным влиянием масс можно пренебречь. Одна­ ко притяжение таких масс будет согласовано только с точками на­ блюдений, а в промежуточных пунктах возможны значительные от­ клонения от реального поля. Расстояние между точечными массами и их число определяются площадью гравиметрической съемки и ее плотностью. Опыт применения метода свидетельствует, что наибо­ лее надежный результат, не требующий большого числа итераций, достигается в случае, когда глубина плоскости и сторона h квадрата Δσ примерно равны расстоянию между исходными пунктами. В рай­ оне со сложным рельефом несущие точки целесообразно распола­ гать не на плоскости, а на ступенчатой поверхности, проходящей всюду на одной и той же глубине z' + ζ под точками наблюдения. Такая модификация метода предложена Л.П. Пеллиненом.

Метод Аронова позволяет не только найти согласованные с наблюдениями параметры моделей (8.99), (8.102), (8.105), но и час­ тично исключить ошибки наблюдений, а также получать значения аномалий силы тяжести в тех точках, где не было измерений. Та­ ким образом, этот метод можно рассматривать как метод интер­ поляции аномалий силы тяжести с одновременной фильтрацией случайных ошибок. Этот факт наглядно объясняется в моногра­ фии [5]: “Аномалии силы тяжести в формуле Стокса рассматрива­ ют на плоскости, и между ними нет никакой необходимой связи. Но здесь аномалии рассматриваются в пространстве и в этом ос­ новное различие. Благодаря представлению через несущие массы потенциал (8.96) и его производные необходимо гармоничны вне масс и регулярны на бесконечности. Отсюда и появляется возмож­ ность хорошей пространственной интерполяции плавных гармо­ нических функций - аномалий силы тяжести, уклонений отвеса, вторых производных потенциала. Одновременно происходит филь­ трация быстро изменяющейся части, и снимаются случайные ошиб­ ки измерений”.

272