Коэффициент β / R этой формулы мал, его можно считать оди­ наковым для всех применяющихся формул нормального распреде­ ления силы тяжести и равным 0,1717км, поэтому связь уклонений отвеса выглядит так

в произвольном азимуте А согласно выражениям (2.31) и (4.14) находится по формуле

где ϋ - составляющая уклонения отвеса в геометрическом опреде­ лении. Для полного уклонения отвеса получаем:

вгеометрическом определении

вфизическом определении

и* = ^ ψ 2 + ί ? 2 = ^ _ о,17ГЯ мп2Д)2+ п2.

Отличие уклонений отвеса в геометрическом и физическом оп­ ределениях для высоты 1 км над эллипсоидом составляет 0,2" и все­ гда учитывается.

§ 25. АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ГРАВИМЕТРИЧЕСКИЕ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

В зависимости от способа получения и используемых измере­ ний различают астрономо-геодезические и гравиметрические укло­ нения отвеса.

Астрономо-геодезические уклонения отвеса находят как разно­ сти астрономических и геодезических координат. Согласно выра­ жениям (2.32) запишем

? Γ= φ - Β ,

ηΑΓ = (Я - L)cosB.

114

Это - уклонения отвеса в геометрическом определении (см. рис. 2.7). Они использованы (см. главу 2) при связи натураль­ ной системы координат с остальными системами. В дальнейшем именно эти уклонения отвеса будем называть астрономо-геодези­ ческими.

Величина астрономо-геодезического уклонения отвеса зависит от выбора отсчетного эллипсоида. Если при ее вычислении исполь­ зованы координаты в системе референц-эллипсоида, уклонение от­ веса называется относительным. Уклонение отвеса от нормали к общему земному эллипсоиду, центр которого совпадает с центром масс Земли, называется абсолютным.

Относительное уклонение отвеса зависит как от астрономичес­ ких координат, т.е. от направления отвесной линии, так и от раз­ меров и ориентировки эллипсоида. Для разных значений геодези­ ческих координат В, L, т.е. для разных референц-эллипсоидов, ук­ лонение отвеса в одной и той же точке поверхности Земли будет различным, и в одном и том же пункте поверхности Земли возмож­ ны разные значения относительных уклонений отвеса.

Составляющая астрономо-геодезического уклонения отвеса в плоскости меридиана в физическом определении - это разность астрономической широты и широты в нормальном поле

= φ - Β γ

или

ξΦ = φ - В - 0,ΠΙ"Ηύη2Β .

Уклонения отвеса иф, будем в дальнейшем называть физическими астрономо-геодезическими уклонениями отвеса.

Астрономо-геодезические уклонения отвеса нужно знать во всех измерительных точках для приведения измерений, выполненных в натуральной системе координат, в геодезическую или простран­ ственную прямоугольную системы. Однако их непосредственное оп­ ределение как разности астрономических и геодезических коорди­ нат возможно только на астропунктах. Астрономические опреде­ ления из-за их трудоемкости выполняют только на небольшом числе пунктов, поэтому возникает задача вычисления астрономо­ геодезических уклонений отвеса в тех точках, где нет астрономи­ ческих наблюдений. Для этой цели используют другие виды укло­ нений отвеса.

Гравиметрическое уклонение отвеса - это угол между действи­ тельной и нормальной силой тяжести. Это - уклонения отвеса в физическом определении. Их вычисляют по смешанным аномали-

115

ям (g - Ϋ) силы тяжести. Формулу для вычисления гравиметричес­ ких уклонений отвеса в 1927 г. впервые получил голландский гео­ физик и геодезист Ф.Венинг - Мейнес (1887-1966):

где ψ; А - полярные координаты текущей точки поверхности Зем­ ли относительно точки вычисления;

dSty)

άψ

5(ψ) - функция Стокса.

Строгое решение задачи определения аномального потенциала и уклонений отвеса на физической поверхности Земли получено М.С. Молоденским в 1945 г. в виде ряда, начальному члену кото­ рого соответствуют формулы (4.16). Поэтому формулы Венинг - Мейнеса часто называют формулами нулевого приближения. В этом приближении не учитывается сжатие Земли и наклоны физической поверхности.

Так как при вычислении смешанных аномалий силы тяжести дей­ ствительная сила тяжести относится к точке Р поверхности Земли, а нор­ мальная - к точке Р7 (см. рис. 4.1), то вычисленное по этим аномалиям уклонение отвеса также будет являться углом между действительной си­ лой тяжести в точке Р и нормальной силы тяжести в точке Р7. Такие укло­ нения отвеса называют уклонениями отвеса по Молоденскому.

Обычно при использовании выражений (4.16) интегрирова­ ние выполняют не по всей поверхности Земли, а только по круго­ вой области сферического радиуса ψ0 с центром в вычислительной точке. Тогда уклонение отвеса будет обусловлено влиянием анома­ лий силы тяжести только в окрестности точки вычисления, т.е. вли­ янием ближних зон. Такое уклонение отвеса называют иногда

местным.

116

При вычислении местных гравиметрических уклонений отвеса вместо формул (4.16) можно использовать формулы Венинг - Мейнеса для плоской отсчетной поверхности, которые имеют вид

(4.17)

где г - расстояние от вычислительной до текущей точки, к которой относится аномалия силы тяжести; гх - радиус учитываемой при интегрировании области.

Сопоставим физические астрономо-геодезические и гравимет­ рические уклонения отвеса. Они отличаются на величину угла меж­ ду направлениями у связанной с референц-эллипсоидом отвесной линии и нормальной силой тяжести общего земного эллипсоида. Если при вычислении астрономо-геодезических уклонений отвеса использован тот же самый эллипсоид, что и при задании нормаль­ ного поля (т.е. при вычислении нормальной силы тяжести), физи­ ческие астрономо-геодезические уклонения отвеса совпадут с гра­ виметрическими. Так как нормальный эллипсоид совпадает с об­ щим земным эллипсоидом, гравиметрические уклонения отвеса являются абсолютными.

В формулах (4.16) для получения абсолютного (полного) гра­ виметрического уклонения отвеса интегрирование нужно выпол­ нять по всей поверхности Земли. Если же учтено влияние только ближних зон и уклонение отвеса вычислено по формуле (4.17), то оно не совпадет с астрономо-геодезическим.

Таким образом, в зависимости от принятого отсчетного на­ правления, способа вычисления и использованных измерений раз­ личают три вида уклонений отвеса.

Астрономо-геодезические уклонения отвеса - угол между направ­ лением нормали к референц-эллипсоиду и отвесной линией. Это - относительные уклонения отвеса, определяемые как разности аст­ рономических и геодезических координат.

Гравиметрические уклонения отвеса - угол между направлением действительной и нормальной силы тяжести или между касатель­ ной к силовой линии нормального поля и отвесной линией. Это - абсолютное уклонение отвеса, вычисляемое по гравиметрическим данным.

Физическое астрономо-геодезическое уклонение отвеса - угол между отвесной линией и касательной к силовой линии нормаль­ ного поля, вычисленный по астрономо-геодезическим данным.

117