§ 68. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В НАЧАЛЕ СЧЕТА ВЫСОТ

При современной точности геодезических измерений становится ощутимым несовпадение поверхности моря с уровенной поверх­ ностью и отличие потенциалов в исходных пунктах различных нивелирных сетей и уровнемерных пунктах, включенных в одну сеть. Для определения этих отличий используют совместно резуль­ таты геодезических, океанографических и спутниковых измерений. Рассмотрим принципиальную возможность определения потенциа­ ла W0 на уровне моря по этим измерениям.

Действительный потенциал Wp в любой точке Р поверхности Земли, в том числе и в уровнемерном пункте J, принятом за ис­ ходный пункт нивелирной сети, можно вычислить с помощью (5.5), используя ту или иную модель гравитационного поля и геоцент­ рические координаты точки. Однако точность такого определе­ ния будет невысока из-за неизбежного ограничения ряда (5.5) конечным числом членов и ошибками его коэффициентов. Влия­ ние ограничения ряда можно ослабить, вычислив потенциал WJ как сумму найденного с помощью выражения (5.5) потенциала Wp репера и его геопотенциального числа (IVJ - W p)

Если нивелирная сеть покрывает обширную территорию, сред­ нее из значений W J, полученных по всем реперам, будет в зна­ чительной степени свободно от влияния высокочастотной части ряда (5.5).

Равенство (10.13) содержит только величины, определяемые по измерениям: коэффициенты ряда (5.5) и координаты реперов на­ ходят по спутниковым измерениям, геопотенциальное число из геометрического нивелирования с привлечением гравиметрических данных. Нормальное поле при этом не используется.

На практике удобнее находить не потенциал WJ в исходном пункте, а разность WJ - U0 потенциалов в начале отсчета высот и на отсчетном эллипсоиде. Вычтем из обеих частей (10.13) по­ тенциал U0 на эллипсоиде, тогда

W j - U 0 = Wp -(U 0 -\g d h ).

327

Но стоящая справа в скобках разность (U0 - \gdh) - это по­ тенциал UpYв точке Р7(см. рис. 4.1), высота которой над эллипсо­ идом является нормальной высотой репера, поэтому

Это равенство непосредственно вытекает из условия (4.3) Молоденского, определяющего нормальную высоту.

Таким образом, разность w j - U 0 потенциалов в исходном пункте отсчета нормальных высот и потенциала на эллипсоиде можно получить как разность действительного и нормального потенциала в любой точке нивелирной сети. На реперах с извест­ ными нормальными высотами нормальный потенциал вычисляют по формуле (3.41), причем следует использовать наиболее точные значения фундаментальных постоянных GM, J2, со, а постоянную а0 находить по принятому значению U0.

В таблице 10.3 приведены результаты оценки величины WJ - U0 и соответствующие ей смещения <5г

δr = (W j- U 0)/y

уровенной поверхности описанным способом, где у - нормальная сила тяжести. Для вычисления потенциала Wp использована мо­ дель EGM-96. Согласно этим оценкам, начало счета высот в США и Канаде лежит приблизительно на 0,5-0,6 м ниже, чем в Европе. Однако ошибка определения разности w j - U0 сопоставима с ее значением.

Т а б л и ц а 10.3

Смещение исходной уровенной поверхности счета высот от поверхности геоида W = U0

Примечание. Использована модель E G M -9 6 .1

1Бурша М., Ватрт В., Войтишкова М. и др. Оценка точности геопотенциальных моделей E G M X 01-Х 05, EGM-96 М //Геодезия и картография, 1998. - № 8. С. 10-13.

328

Потенциал обычно представляют суммой нормального Up и аномального Тр потенциалов

WP = UP + ΤΡ·

Заменив в формуле(10.14) потенциал Wp согласно этому пред­ ставлению, находим

W J - U 0 = T P - ( U PY- U P).

Это равенство можно получить также из (4.2), перегруппиро­ вав его члены.

Для нахождения разности {Up y - Up) нормальных потенциалов в точках Р7 и Р (см. рис. 4.1), определяющей аномалию высоты, нужно знать нормальную и геодезическую высоты репера. Дей­ ствительно, в нормальном поле уровенного эллипсоида геодези­ ческую высоту # Р можно выразить через разность нормального потенциала на эллипсоиде и в точке Р

где ym - среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке НР

значения производных относятся к поверхности эллипсоида U = U0, (γ^ρ нормальная сила тяжести на поверхности эллипсои­ да в точке, находящейся на одной нормали с точкой Р, значения

с параметрами эллипсоида. Разность нормальных потенциалов с помощью (10.15) примет вид

U0 - U p - YmH P.

Нормальная высота согласно формулам (7.14), (7.15) позволя­ ет найти разность U0 - Up нормальных потенциалов на эллипсо­ иде и в точке Р7

и 0- Я / = 7 # /,

где 7 - среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке Η Ύ

329

Вычитая из разности потенциалов между эллипсоидом и точ­ кой поверхности Земли разность потенциалов между тем же эл­ липсоидом и гипсометрической поверхностью, находим

( υ ργUp) = ( и о - Up) - ( U0 - Up7) = утНр - γΗρ\

следовательно, если не учитывать отличие ут и у,

Таким образом, для вычисления разности потенциалов на уров­ не моря и на отсчетном эллипсоиде нужно вычислить аномаль­ ный потенциал Тр и измерить геодезическую и нормальную высо­ ты в любой точке поверхности Земли. Если в выражении (10.16) под точкой Р понимать исходный уровнемерный пункт J, то нор­ мальная высота обратится в нуль и уравнение (10.16) примет вид

тенциал Tj и вычислить нормальную силу тяжести, индекс «у» оз­ начает принадлежность соответствующей величины пункту J. При­ чем все величины нужно находить с высокой точностью, посколь­ ку колебания разности W0 - U0 невелики и не превышают 1,5-3 дин. м (кгал. м) (см. рис. 10.6).

Аномальный потенциал ТР находят или с помощью разложе­ ния (5.37) или по интегральной формуле (8.30), являющейся реше­ нием краевой задачи. Более перспективно использование преобра­ зованной формулы (8.73), позволяющей при вычислении ряда огра­ ничиться сравнительно малым числом членов, а при интегрировании учесть только ближайшие окрестности точки вычисления. Этот путь был опробован для связи нивелирных сетей Европы и США. Ис­ пользуя геоцентрические координаты 4 станций в Европе и 14 в США и учитывая аномалии силы тяжести в радиусе 1°, для разно­ сти потенциалов США - Европа было получено значение 46 дин. см (46 кгал. см) Правда, ошибка этой разности сравнима с ее вели­ чиной и составляет 45 дин. см. Тем не менее этот результат каче­ ственно совпадает с результатом, приведенным в таблице 10.3.

Для определения аномального потенциала с учетом отличия потен­ циала в исходных пунктах изолированных нивелирных сетей, использу­ емых для определения поверхности Земли первого приближения, пред­ ложено несколько вариантов составления краевого условия задачи

330

Молоденского. Один из первых вариантов рассмотрен М.И. Юркиной1. В.В. Бровар2 определял аномальный потенциал по смешанным анома­ лиям силы тяжести

причем для поверхности моря нормальные высоты Н у можно получать как разность геодезической высоты, определенной методом спутнико­ вой альтиметрии, и аномалии высоты, найденной с помощью разложе­ ния по сферическим функциям. Краевое условие для нахождения ТР имеет вид

у ЭЯ

следует считать переменным, а сами эти разности постоянны в преде­ лах каждой нивелирной сети, опирающейся на один футшток.

Приближенно решение задачи с краевым условием (10.17) можно записать в виде

где η - число регионов площади ω, с постоянным значением разности (W0 - U0)i9 принятой в каждом регионе. Подставляя выражение для ТР в (10.16), находим уравнение для нахождения разности потенциалов

1 Юркина М.И. Потенциал в начале счета высот и контроль геометри­ ческого нивелирования // Геодезия и картография. - 1981. - № 10. - С. 11-15.

2 Бровар В.В. Потенциалы начальных пунктов изолированных нивелир­ ных сетей // Геодезия и картография. - 1988. - № 2. С. 21-24.

331